Cтраница 2
Лннни-ком был создан дисперсионный метод для решения целого ряда аддитивных задач теории чисел. Им были решены проблема Харди - Литлвуда, Титчмарша проблема делителей, аддитивная проблема делителей. В последнее время получены глубокие результаты при помощи метода большого решета Ю. В. Линника, к-рый был создан им в 1940 при решении проблемы о наименьшем квадратичном невычете. [16]
В ходе этих работ было обнаружено немало нового; например, то обстоятельство, что Эйлеру уже был известен постулат Бертрана ( 1845), доказанный Чебышевым. Рукописи и переписка Эйлера имеют не только исторический интерес. Примером может служить, как указал А. А. Киселев, эйлеров метод производящих функций в применении к аддитивным задачам теории чисел. [17]
Заметим, что описанная редукция приводит нас к функциям весьма специального вида (1.10) - это так называемые аддитивные функции. Они организованы гораздо проще, чем функции с последовательным включением неизвестных (1.6), полученные в результате стандартной коиечпоразностной аппроксимации. Это позволит, как мы увидим ниже, развить некоторые специальные методы для их исследования. Редукция к задаче (1.6), (1.5) совершенно тривиальна, в то время как построение элементарной операции, а, следовательно, и редукция к аддитивной задаче в каждом отдельном случае представляет из себя специальную проблему. [18]