Cтраница 1
Полностью определенная задача на собственные значения является положительно определенной. [1]
Самосопряженная полностью определенная задача на собственные значения, не содержащая параметра Р в граничных условиях, всегда имеет бесконечный спектр положительных собственных значений, из которых в задачах устойчивости обычно достаточно найти только наименьшее собственное значение, определяющее критическую нагрузку. [2]
Тогда имеем: полностью определенная задача на собственные значения является определенной и все ее собственные значения положительны. [3]
Для самосопряженной и полностью определенной задачи на собственные значения справедлива теорема о минимуме отношения Рэлея. [4]
В случае самосопряженной полностью определенной задачи на собственные значения (4.11) - (4.14) имеется нормированная, в обобщенном смысле ортогональная система собственных функций уг. [5]
Эта задача, однако, будучи полностью определенной задачей на собственные значения, имеет только положительные собственные значения. [6]
Добавляя к уравнению (4.51) граничные условия, получаем полностью определенную задачу о движении пены вязкой сжимаемости в длинной вертикальной трубе. В отличие от задачи Пуазейля, градиент давления в данном случае не может быть const, поэтому необходимо знать давление в каком-либо сечении трубы. [7]
Основные результаты в теории задач на собственные значения получены для самосопряженных и полностью определенных задач. [8]
Основные результаты в теории задач на собственные значения получены для самосопряженных и полностью определенных задач. [9]
Теорема о минимуме отношения Рэлея указывает путь приближенного решения задач на собственные значения: задаваясь различными функциями сравнения, вид которых подсказывается физическим смыслом задачи, можно получать оценки ( сверху) для первых собственных значений. Теорема о минимуме отношения Рэлея справедлива только для самосопряженных и полностью определенных задач на собственные значения, поэтому связанные с ней приближенные методы, строго говоря, применимы только при тех же ограничениях. Все консервативные задачи теории упругой устойчивости являются самосопряженными, но они не всегда бывают полностью определенными. Последнее обстоятельство иногда следует учитывать при построении приближенных решений. [10]
В качестве (16.2) применяют главные краевые условия. Затем пытаются так задать две квадратичные формы А и В в (16.1), чтобы (16.10) соответствовало естественным краевым условиям; вопрос о том, когда это возможно, здесь вообще не исследуется. Для самосопряженных полностью определенных задач на собственные значения, у которых А, не входит в краевые условия, в § 15 были получены соответствующие вариационные задачи, а для подавляющего большинства задач, возникающих в физике и технике, соответствующие вариационные задачи часто могут быть получены более коротким путем из энергетического рассмотрения. Несколько примеров этого будет дано в пп. [11]
В задачах устойчивости обычно требуется найти первое собственное значение, дающее критическую нагрузку. Поэтому при выборе координатных функций следует стремиться к тому, чтобы первый член ряда точнее отражал характер первой собственной функции решаемой задачи, а все последующие члены ряда играли бы роль уточняющих поправок. Один из наиболее естественных и надежных путей выбора координатных функций состоит в использовании собственных функций родственной самосопряженной и полностью определенной задачи, допускающей точное аналитическое решение. Например, если задача устойчивости сводится к решению уравнения с переменными коэффициентами, то, осреднив значения коэффициентов, можно перейти к вспомогательной задаче с теми же граничными условиями, но с постоянными коэффициентами. Определив систему собственных функций для этой вспомогательной задачи, затем можно их использовать для построения приближенного решения уравнения с переменными коэффициентами. Такой путь решения обычно дает возможность с высокой точностью определять критические нагрузки даже при сравнительно небольшом числе членов ряда ( два-три); при этом гарантируется полнота системы координатных функций. [12]
На этом этапе весь процесс направляется данными. Допустима любая операция проектирования, если только для этого имеется достаточно исходной информации. Но поскольку на этом этапе некоторые из задач оказываются недоопределенными, то вполне возможна и такая ситуация, когда при отсутствии полностью определенных задач в списке актуальных очередное предложение будет сформировано такой недоопределенной задачей. [13]