Cтраница 2
В данной статье сделана попытка формализовать понятия, относящиеся к многопользовательской защите. В отличие от работы [3], где используются схемы вычислений, автор применяет теоретико-множественный подход. Применяемые обозначения стандартны для теории множеств и функций, например 2А обозначает множество всех подмножеств множества А. [16]
Но с другой стороны, нетрудно заметить, что, с точки зрения теоретико-множественного подхода, мощность построенного множества точек является всего лишь счетной. [17]
Особую роль сыграла работа Цермело [1], ознаменовавшая начало применения к изучению игр с полной информацией теоретико-множественного подхода. [18]
Поэтому в интуиционистской математике отвергается теоретико-множественный подход к определению математич. [19]
С точки зрения интуиционизма, основным критерием истинности математические суждения является интуитивная убедительность возможности построения мысленного эксперимента, связываемого с этим суждением. Поэтому в интуиционистской математике отвергается теоретико-множественный подход к определению математических понятий, а также некоторые способы рассуждения, принятые в классической логике. [20]
Не так уж прост и второй момент. Несмотря на всю привычность индуктивного умозаключения, оно по своей логической природе очень сложно: лежащая в его основе аксиома полной математической индукции представляет собой бесконечную схему аксиом в логике первого порядка. Не следует также забывать, что в рамках теоретико-множественного подхода оно необходимо связано с понятием конечного множества. А это понятие, как упоминалось, находится в тесной связи с аксиомой выбора значительно более общего вида, чем рассматриваемый. Поэтому применение полной математической индукции при доказательстве частного случая этой аксиомы не может не вызвать сомнений. [21]
Поскольку мы должны исходить из некоторой вполне определенной области операций, существующие множества и соответствия определены посредством содержательных, выражаемых через фундаментальные первичные свойства и отношения заг висимостей, которые имеют место между предметами рассматриваемых категорий; но не может существовать - не затрагивая возможности общего учения о множествах - никакой универсальной, пригодной для всех областей операций шкалы бесконечных кардинальных и ординальных чисел, как ее разработал Кантор. Пропасть между конечным и бесконечным, будто бы заполненная учением о множествах, ныне вновь разверзается зияющей бездной. Тот теоретико-множественный подход к натуральным числам, который развил Дедекинд в своей работе Чем являются и чем должны быть числа. [22]
А это событие может полностью определяться либо действиями испытуемого, либо только решениями экспериментатора, либо некоторой комбинацией этих двух возможностей. Этот формальный метод был с большим успехом использован для анализа ряда экспериментов. В связи с этим интересно отметить, что теоретико-множественный подход [3] помогает связать между собой - чисто формальный метод и метод, применяемый в практике психологических исследований. [23]
Эта фигура должна только указать на способ порождения и обозначений до некоторого известного момента. Множество, линейно упорядоченное ( § 8) таким образом, что каждое его непустое подмножество имеет первый элемент, называется вполне упорядоченным. Два упорядоченных множества М и N называются подобными ( M & N), если их можно привести в 1 - 1-соответствие, сохраняющее порядок. Но, в то время как для всей теории канторовских трансфинитных порядковых чисел требуется теоретико-множественный подход, теория начальных отрезков ( по крайней мере, не слишком больших) допускает финитный подход. [24]
В самой математике эта двойственность практически не учитывается, что обосновано здесь несколько ранее. В целом представляется, что специальных врожденных форм мышления для базовых понятий математики, как это дано у Им. Канта, не существует, что таковые имеют место только в метафизике, а все специфически математические структуры мышления конституируются на этой онто-гносеологической базе под влиянием опыта, но независимо от этого опыта, каким бы он ни был. Далее, в результате рассмотренных выше процессов конституирования формируются единственно возможные, интерсубъективные базовые предпосылки математики. Поэтому, при интуитивном мышлении в математике, взаимосвязи априорных метафизических и математических предпосылок не осознаются, что создает серьезные сложности как при формально-теоретической экспликации математических утверждений, так и при обосновании математики посредством выдвижения специальных программ обоснования. Кантора), в конечном счете, мы фактически сталкиваемся с необходимостью обоснования в рамках формально-математического контекста некоторых идей метафизики, например, представления об актуальной бесконечности, что, как известно, привело к фактическому крушению и гильбертовский формализм, и канторовский теоретико-множественный подход. [25]
Советскому читателю предоставляется возможность ознакомиться5 с результатами многолетних размышлений интересного французского педагога относительно содержания курса школьной математики и построения стройной логической системы основ математических знаний. Люсьенн Феликс, ученица одного из крупнейших представителей французской математической мысли первых десятилетий нашего века Анри Лебега, довольно точно следует педагогическим идеям своего учителя. Эти идеи продолжают сохранять свежесть и в наши дни. Теоретико-множественные концепции, пронизывающие всю книгу Люсьенн Феликс, имеют в наши дни фундаментальное значение не только для теоретической математики, но и для многих физических, технических, биологических и иных научных дисциплин. Эти концепции используются не только при построении вершин науки и ее основ, но также и в педагогическом процессе. Скажу, например, что в курсах математической статистики, которые предназначены в США для агрономов и других специалистов сельского хозяйства, теоретико-множественным концепциям науки уделяется большое внимание, поскольку именно они позволяют глубже и свободнее взглянуть на реальные явления. Точно так же при построении основ теории надежности выяснилось, что без теоретико-множественного подхода не удается разумно осмыслить самые центральные ее понятия. [26]
Однако при обычной теоретико-множественной трактовке не делается никакого различия между объектами, существование которых можно подтвердить с помощью некоторого потенциально осуществимого построения, и абстрактными теоретико-множественными объектами исследования. Способы установления свойств обоих типов объектов в классической математике основаны на законах логики, возникших в результате экстраполяции законов, верных для конечных совокупностей, на бесконечные множества. В области бесконечного эти законы не ориентированы на эффективное построение объектов, существование которых утверждается. Фактически такое положение дел приводит к появлению в математике так называемых теорем чистого существования, в которых утверждается существование некоторых объектов и в то же время не указывается никакого способа отыскания этих объектов. Такова, например, известная теорема классического анализа, утверждающая, что всякая непрерывная действительная функция, заданная на замкнутом ограниченном множестве, имеет максимум. Обычное доказательство этой теоремы не дает никаких указаний на метод построения искомого максимума. Это обстоятельство может и не смущать теоретико-множественно настроенного математика: он может считать, что максимум есть у всякой функции рассматриваемого класса, независимо от того, можно его отыскать в каждом частном случае или нет, есть как объект некоторого воображаемого мира ( платонист-ского мира, см. [ 6, с. Однако такой подход не удовлетворяет, если принять во внимание возможности субъекта-исследователя. Имеется ли способ отыскания максимума, и если этот способ не указан, то в каком смысле верно, что максимум существует у всякой функции рассматриваемого класса. Известно, сколь трудной является задача поиска экстремума у функций даже весьма узкого класса ( многочлены с рациональными коэффициентами от нескольких переменных), и, что существенно, указанная теорема нисколько не помогает в решении этой задачи. Заметим, что описанная выше критика классической математики не связана непосредственно с антиномиями теории множеств. Появление антиномий можно рассматривать как дополнительный довод в пользу неудовлетворительности теоретико-множественного подхода, но критика относится и к таким разделам математики, где антиномий не возникает. [27]
Но, возникает вопрос о том, с какого рода построением связано множество всех действительных чисел или множество всех натуральных чисел как единый объект исследования. Есть серьезные основания считать, что объекты, существование к-рых устанавливается без использования абстракции актуальной бесконечности, а лишь в рамках гораздо более скромной абстракции потенциальной осуществимости, имеют более непосредственное отношение к реальной действительности. Однако при обычной теоретико-множественной трактовке не делается никакого различия между объектами, существование к-рых можно подтвердить с помощью нек-рого потенциально осуществимого построения, и абстрактными теоретико-множественными объектами исследования. Способы установления свойств обоих типов объектов в классич. В области бесконечного эти законы не ориентированы на аффективное построение объектов, существование к-рых утверждается. Фактически такое положение дел приводит к появлению в математике так наз. Обычное доказательство этой теоремы не дает никаких указаний на метод построения искомого максимума. Это обстоятельство может и не смущать теоретико-множественно настроенного математика: он может считать, что максимум есть у всякой функции рассматриваемого класса, независимо от того, можно его отыскать в каждом частном случае или нет, есть как объект нек-рого воображаемого мира ( платонист-ского мира, см. [6], с. Однако такой подход не удовлетворяет, если принять во внимание возможности субъекта-исследователя. Имеется ли способ отыскания максимума, и если этот способ не указан, то в каком смысле верно, что максимум существует у всякой функции рассматриваемого класса. Известно, сколь трудной является задача поиска экстремума у функций даже весьма узкого класса ( многочлены с рациональными коэффициентами от нескольких переменных), и, что существенно, указанная теорема нисколько не помогает в решении этой задачи. Заметим, что описанная выше критика классич. Появление антиномий можно рассматривать как дополнительный довод в пользу неудовлетворительности теоретико-множественного подхода, но критика относится и к таким разделам математики, где антиномий не возникает. [28]