Cтраница 2
Мы уже видели ( теорема 1.32), что непрерывные линейные отображения ограничены. По этой причине теорему Банаха - Штейнгауза 2.5 часто называют принципом равномерной ограниченности. [16]
При этом в абстрактной форме изучение вопроса обычно сводится либо к установлению сходимости последо - ительности линейных операторов, либо к доказательству ограниченности норм операторов этой последовательности. Решение задач такого рода в значительной степени основывается на использовании одного из основных принципов функционального анализа - принципа равномерной ограниченности, имеющего основополагающее значение в теории операторов. [17]
Общая сквозная тема этой главы - обсуждение результатов, утверждающих, что если некоторое множество линейных или билинейных отображений одного или нескольких топологических векторных пространств в другое ограничено в каком-то смысле, то оно будет ограничено в некоем более сильном смысле. Эта ограниченность в более сильном смысле будет часто заключаться в равномерности того или иного рода, не фигурирующей в исходных предпосылках, почему результаты рассматриваемого типа иногда называют принципами равномерной ограниченности. Эти принципы применимы лишь к некоторым категориям топологических векторных пространств. Понятия бочечных и ультрабочечных пространств, введенные в гл. [18]
Однако заметим, что если Х - Z, то каждая ( как оператор) ограниченная функция Карлемана строго ограничена. Причина: g - ( g, y ( x)) является линейным ограниченным функционалом на К, а х - ( g, y ( x)) - квадратично интегрируемой функцией на X. Отсюда следует, что последняя ограничена для каждого g ( квадратично суммируемые последовательности ограничены), и по принципу равномерной ограниченности следует, что функция х - II 7 () II ограничена. [19]
Однако часто возникает необходимость рассматривать множества, на которых над их элементами определены операции: сложение, умножение на скаляры, удовлетворяющие определенным свойствам. Такие множества, называемые линейными пространствами, и являются основным объектом изучения в этой главе. Наиболее интересные результаты получаются в том случае, когда линейное пространство наделено еще структурой топологического пространства или некоторой другой структурой, например нормой, которая определяет топологию в пространстве, и при этом линейные операции непрерывны в этой топологии. Линейные топологические пространства, так называемые F-пространства и нормированные пространства, играют исключительно важную роль в анализе и поэтому будут детально изучены. Обычно выделяют несколько важных принципов в теории таких пространств - это принцип равномерной ограниченности, принцип открытости отображения, принцип продолжения функционалов. [20]
Настоящая глава носит вводный характер. В ней излагаются основные свойства гильбертовых пространств, необходимые для понимания дальнейшего материала. Несмотря на замкнутость изложения, эта глава представляет собой лишь краткое введение в предмет. Предполагается, что она поможет читателю получить первоначальные сведения о линейных и, в частности, о гильбертовых пространствах. Более подробно этот материал освещен во многих стандартных книгах по функциональному анализу. В § 1.2 приводится ряд стандартных примеров гильбертовых пространств. Более сложные способы построения гильбертовых пространств ( важные с точки зрения приложений) рассмотрены в § 1.3. В частности, здесь изучается понятие тензорного произведения гильбертовых пространств. Далее, в § 1.4 обсуждается простейшая задача оптимизации в гильбертовых пространствах, а именно - задача проектирования на выпуклые множества. В § 1.8 содержатся некоторые из основных теорем функционального анализа. Здесь изучается слабая сходимость и доказываются свойство слабой компактности ограниченных подмножеств гильбертовых пространств, теорема Мазура о выпуклых множествах, принцип равномерной ограниченности. Главу заканчивает § 1.10, в котором сформулирована теорема Хана-Банаха. [21]