Cтраница 2
Не всякое число, как мы увидим в дальнейшем, является собственным значением данного линейного оператора А: множество собственных значений линейного оператора А, действующего в / г-мерном линейном пространстве, состоит в общем случае из п ( возможно, комплексных) чисел, среди которых могут быть совпадающие. [16]
В комплексном линейном пространстве все корни характеристического уравнения, и только они, являются собственными значениями линейного оператора. В действительном линейном пространстве то же утверждение имеет место для действительных корней характеристического уравнения. [17]
Не всякое число, как мы увидим в дальнейшем, является собственным значением данного линейного оператора А: множество собственных значений линейного оператора А, действующего в / г-мерном линейном пространстве, состоит в общем случае из п ( возможно, комплексных) чисел, среди которых могут быть совпадающие. [18]
С иной ситуацией мы столкнемся, если проследим за бифуркацией в пространстве двух параметров р и L. При некоторых комбинациях р и L может происходить вырожденная бифуркация при двукратном собственном значении линейного оператора. В этом случае ветви, возникающие при бифуркации, сливаются. Наоборот, если р т L незначительно отличаются от значений, соответствующих вырожденному состоянию, то бифуркационные ветви расщепляются, и могут возникать бифуркации второго и более высокого порядков. Важно, что вблизи вырожденной бифуркации удается построить полную классификацию всех возможных случаев. В целом такая классификация напоминает теорию катастроф, хотя в общем случае мы рассматриваем непотенциальные системы. [19]
В теореме 1 утверждается некоторое свойство собственных значений матрицы А. Следует иметь в виду, что одному и тому же линейному оператору в различных базисах соответствуют различные матрицы, и у каждой такой матрицы имеется некоторое количество собственных значений. Возникает вопрос: как связаны собственные значения линейного оператора с собственными значениями матриц, которые соответствуют этому оператору в различных базисах. Оказывается, что множество собственных значений линейного оператора А совпадает с множеством собственных значений матрицы линейного оператора А в любом базисе, так что различные матрицы, соответствующие одному и тому же оператору А ( в разных базисах), имеют одно и то же множество собственных значений. [20]
В теореме 1 утверждается некоторое свойство собственных значений матрицы А. Следует иметь в виду, что одному и тому же линейному оператору в различных базисах соответствуют различные матрицы, и у каждой такой матрицы имеется некоторое количество собственных значений. Возникает вопрос: как связаны собственные значения линейного оператора с собственными значениями матриц, которые соответствуют этому оператору в различных базисах. Оказывается, что множество собственных значений линейного оператора А совпадает с множеством собственных значений матрицы линейного оператора А в любом базисе, так что различные матрицы, соответствующие одному и тому же оператору А ( в разных базисах), имеют одно и то же множество собственных значений. [21]
Не всякий линейный оператор имеет хотя бы один собственный вектор. Предположим, например, что оператор действует в пространстве V2 и осуществляет поворот каждого направленного отрезка вокруг начала координат на угол 90 против часовой стрелки. Очевидно, что в этом случае образ и прообраз никогда не будут коллинеарными и оператор не будет иметь ни одного собственного вектора. Для того чтобы исследовать вопрос существования собственных векторов, выведем сначала уравнение, которому удовлетворяют все собственные значения линейного оператора. [22]