Cтраница 2
При построении теории вещественных чисел существование точной верхней грани для каждого ограниченного сверху подмножества множества вещественных чисел принимается в качестве аксиомы полноты множества вещественных чисел. [16]
Мы сейчас докажем, что присоединение к аксиомам I, 1 - 3, II и III, 1 - 3 аксиомы Архимеда LV, 1 позволяет поставить в соответствие каждой точке произвольной прямой а определенное вещественное число х, называемое координатой этой точки, а присоединение еще и аксиомы линейной полноты IV, 2 позволяет утверждать, что координаты всех точек прямой а исчерпывают множество всех вещественных чисел. [17]
Мы сейчас докажем, что присоединение к аксиомам I, 1 - 3, II и III, 1 - 3 аксиомы Архимеда IV, 1 позволяет поставить в соответствие каждой точке произвольной прямой а определенное вещественное число х, называемое координатой этой точки, а присоединение еще и аксиомы линейной полноты IV, 2 позволяет утверждать, что координаты всех точек прямой а исчерпывают множество всех вещественных чисел. [18]
Аксиома полноты там названа леммой Кантора, остальные связаны с именами Бореля, Вейерштрасса, Дедекинда и Коши. Их иногда называют основными леммами математического анализа. [19]
Если принимать основные свойства действительных чисел без доказательства, а не выводить их из свойств рациональных чисел, то данную теорему следует также рассматривать как аксиому. Ее называют аксиомой Деде-кинда или аксиомой полноты. [20]
В связи с тем, что для R определены сложение и умножение, вычитание и деление, обладающие обычными свойствами, а также определен порядок, при котором верны аксиомы Архимеда и полноты, R вместе с порядком и операциями называется полным архимедовым полем. Существуют другие определения вещественных чисел, при которых аксиома Архимеда и аксиома полноты становятся теоремами. [21]
При п 1 получаем пространство R1, которое состоит из множества вещественных чисел с обычными операциями сложения и умножения, в котором нормой является абсолютная величина числа. Ясно, кто сходимость по такой норме является обычной сходимостью число-гых последовательностей. Полнота пространства R1 является следствием аксиомы полноты множества вещественных чисел: всякая фундаментальная последовательность вещественных чисел является сходящейся. Доказано, что эти аксиомы эквивалентны. [22]
Эти аксиомы имеют задачей логически определить непрерывность геометрич. CD и точка В лежит между Ап. В этой аксиоме предполагается, что дополнение системы новыми элементами происходит без нарушения тех взаимоотношений между точками и отрезками прямой, к-рые имели место до расширения системы. Так, если точка В до расширения лежала между А и С, то и после расширения она должна оставаться между А и С. Если отрезок АВ до расширения системы был равен CD, то он останется ему равным и после дополнения системы новыми элементами. Из аксиомы линейной полноты нетрудно логически вывести общее предложение о полноте системы точек, прямых и плоскостей трехмерного эвклидова пространства, а именно: геометрич. [23]
Когда вводятся алгебраические иррациональные числа в виде корней всевозможных степеней из рациональных чисел и корней алгебраических уравнений с рациональными коэффициентами и строятся соответствующие им точки на числовой оси, то числовая ось обогащается новыми точками с иррациональными абсциссами. Но на числовой оси все еще остаются пустые места, где еще могут быть вставлены новые точки. Так, точки с абсциссами тг, % % V и т-п - не будут нанесены на числовой оси. Ось заполнится вся лишь после того, как будут введены все действительные числа. Аксиома полноты требует, чтобы именно этим свойством обладала геометрическая прямая: чтобы на ней не осталось ни одного пустого места, куда можно было вставить новую точку. [24]
Второе методологическое достоинство аксиоматики Гильберта состоит в ее независимости от каких-либо других математических теорий. Она в принципе независима даже от теории множеств. Действительно, по Гильберту, скажем, прямая отнюдь не является множеством точек, а отношение принадлежности не является теоретико-множественным отношением принадлежности элемента к множеству. Однако эта независимость от теории множеств на самом деле эфемерна. Уже полупрямая вводится по Гильберту по существу как множество точек. Еще хуже дело обстоит с аксиомой непрерывности Дедекинда, в которой понятие множества ( класса) играет основную роль. Правда, у самого Гильберта аксиомы Дедекинда нет: ее заменяет некая аксиома полноты, формально от теории множеств независимая. [25]