Cтраница 1
Алгебра дифференцирований отображает 26-мерное пространство У0 матриц из Жз со следом 0 в себя. Представление в У0 точно и неприводимо. Центр алгебры 8 равен 0, так что 8 полупроста. [1]
Эти алгебры дифференцирований также являются простыми. [2]
Тогда алгебра дифференцирований DerO является 14-мерной простой центральной алгеброй Ли. При этом DerO InderO, и всякое дифференцирование D из DerO имеет вид D - J ] Dx. [3]
Тогда алгебра дифференцирований Der О является 14-мерной простой центральной алгеброй Ли. [4]
Показать, что алгебра дифференцирований любой алгебры Ли алге-браична. [5]
В теории Картана бесконечномерные алгебры Ли реализуются в качестве алгебр дифференцирований кольца степенных рядов. Над полями конечной характеристики естественным аналогом алгебры полиномов является алгебра разделенных степеней. [6]
Как известно, Autg - линейная алгебраическая группа, касательной алгеброй к которой служит алгебра дифференцирований Derg. Идеал adgcDerg изоморфен алгебре g и потому алгебраичен. [7]
В заключение описания G2 отметим, что 7-мерное представление ( 26) отождествляет эту алгебру Ли с алгеброй дифференцирований так называемой комплексной октонионной алгебры Ос, ограниченных на подпространство чисто мнимых элементов. [8]
Доказать, что центральная простая алгебра Ли над полем характеристики 0 будет иметь тип G тогда и только тогда, когда она изоморфна алгебре дифференцирований некоторой алгебры Кэли. [9]
Используя теорему 9.7 и упражнение 5, доказать, что две алгебры Кэли над полем характеристики 0 изоморфны лишь в том случае, когда изоморфны их алгебры дифференцирований. [10]
Мы уже отмечали в § 1, что всякое дифференцирование конечномерной центральной простой ассоциативной алгебры является внутренним. Выясним теперь, что из себя представляет алгебра дифференцирований Der О алгебры Кэли - Диксона О. [11]
Мы видели ( упражнение 1.4), что 82 имеет нулевой центр. X) ( X) ( 8)) - алгебра дифференцирований алгебры 3) ( 8), а 82 отождествляется с идеалом своих внутренних дифференцирований. Поэтому алгебра 8j S субинвариантна в 8; ( упражнение 1.8) и каждая алгебра 8; имеет нулевой центр. [12]
Алгебры Ли имеют весьма развитую теорию, находящую применение в разных областях математики. Им посвящена обширная литература, в том числе ряд статей данной серии. В нашей статье они будут играть второстепенную роль, появляясь лишь эпизодически, в основном, как алгебры дифференцирований других алгебр. [13]
Таким же образом можно посчитать супераналоги тензора Римана, но эти аналоги не имеют ничего общего с тем, что у физиков называется супергравитацией. У нас есть структура ниль-потентной алгебры на gr TmM. Назовем ее 0; это алгебра Ли, градуированная отрицательными числами. Добавим еще до - подалгебру в алгебре дифференцирований алгебры Ли 0, состоящую из-дифференцирований, сохраняющих градуировку. Если такое обобщенное картановское продолжение ( 0, 0о) подставить в ( 3), заменив - 1 на -, то, по крайней мере в том случае, когда 0о и 0 это то, что рассматривают физики в случае супергравитации при N 1, мы получим какие-то условия, которые, по моему мнению, должны были бы совпасть с тем, что получается у физиков. Мы - это Павел Грозман, который написал программу для вычисления этого дела, и я, который придумал это обобщение. Прежде чем просить Грозмана написать программу, я попросил Лену Полетаеву, которая умеет считать, посчитать для N 1, и у нее результат в точности совпал с тем, что получается у физиков. Уже при / V 1 считать руками очень тяжело. И у Грозмана ответ не совпал. Грозман спросил, в чем разница: у всех больше или у нас больше. [14]
Ли в существенных чертах сводится к изучению разрешимых алгебр. Основная его цель состоит в том, чтобы изучение разрешимых алгебр свести к изучению нильпотент-ных. Для этого сначала вводится особый класс расщепляемых алгебр и показывается, что каждая расщепляемая алгебра представляется в виде RA K, где К-максимальный нильпотентный идеал в R, a A-максимальная коммутативная подалгебра, все элементы которой имеют простые элементарные делители. Представление RA K однозначно с точностью до внутренних автоморфизмов. К называется ядром алгебры R. Теперь, чтобы получить все расщепляемые алгебры с заданным ядром К, достаточно для R взять алгебру дифференцирований, выбрать в ней максимальную коммутативную подалгебру А, образованную элементами с простыми элементарными делителями, и составить полупрямую сумму А-ЬК. Подалгебры вида А1 К, А1С2А с точностью до изоморфизма исчерпывают все расщепляемые разрешимые алгебры с ядром К. [15]