Cтраница 1
Алгебра Буля известна уже с середины XIX века, но только около 25 - 30 лет назад ее аппаратом начали пользоваться для получения структуры релейно-контактных схем ( работы К. [1]
Алгебра Буля - разновидность математики, используемая совместно с двоичной системой счисления. Эта алгебра может быть использована для выражения связи между входами и выходами различных схем или систем. Входы А, В т С соединены таким образом, что сигнал на выходе существует только тогда, когда сигнал поступает одновременно на все входы. [2]
Элементы алгебры Буля, вообще говоря, не являются числами. [3]
Класс алгебр Буля, а следовательно, и класс колец Буля являются ( 3-классами. [4]
Все остальные свойства алгебр Буля могут уже быть выведены из этих трех основных свойств, если определить произведение. [5]
Подобная запись заимствована из алгебры Буля, которую можно рассматривать как арифметику систем, построенных на логических схемах. [6]
Кроме знаков операций в алгебре Буля применяются знак равенства и скобки. Знак означает не количественное равенство, а то, что разделяемые им выражения идентичны, поэтому левую часть всюду можно заменить правой частью и наоборот. Скобки, как в обычной алгебре, указывают порядок выполнения операций. Если скобок нет, то сначала выполняются отрицания над отдельными переменными, затем логическое умножение и, наконец, логическое сложение. В этом случае операция отрицания для этой совокупности выполняется в последнюю очередь. [7]
Связь теории вероятностей с алгебрами Буля может быть положена в основу общего определения самого предмета этой науки. А именно, можно сказать, что теория вероятностей изучает совокупности объектов, образующие нормированную алгебру Буля, эти объекты называются событиями, а норма р ( А) события А называется вероятностью. [8]
Теорема 12а означает, что в алгебре Буля, так же как и в обычной алгебре, можно раскрывать скобки и выносить общие сомножители за скобки. Теорема 126 аналога в обычной алгебре не имеет. [9]
Логические преобразования двоичных сигналов выполняются на базе элементарных операций алгебры Буля: логическое сложение, логическое умножение, логическое отрицание. [10]
Ниже нам встретится также случай, в котором элементами алгебры Буля являются всевозможные части заданного отрезка АВ, а норма определяется как отношение длины рассматриваемой части ко всей длине отрезка АВ ( см. задачу 22 на стр. Буля всех множеств, принадлежащих заданному отрезку, фигуре или телу, вводить норму совершенно произвольным образом, требуя лишь, чтобы она удовлетворяла условиям, наложенным выше иа функцию /) ( А); при этом мы придем к новому широкому классу интересных теоретико - Еероят-постных задач. [11]
Равенства 16в и 16г означают, что отрицание любого выражения алгебры Буля можно получить заменой всех переменных их отрицаниями, а всех символов логического умножения символами логического сложения и наоборот. [12]
Примером на эту теорему может служить теорема Стоуна о представимости бесконечных алгебр Буля. [13]
Заметим еще, что то обстоятельство, что во всех приведенных выше примерах алгебра Буля задавалась как совокупность множеств, составленных из точек одного наибольшего множества, не является случайным - такое задание этой алгебры возможно во всех теоретико-вероятностных задачах. Исходя отсюда, можно даже с caMOi - начала считать основным объектом изучения теории вероятностей не нормированную алгебру Буля всевозможных событий, а некоторое полное множество элементарных событий, различные части ( подмножества) которого и отождествляются затем с событиями. Для того, чтобы сделать эти рассуждения вполне закопченными, надо только сопоставить еще подмножествам А нашего множества всех элементарных событий определенную норму р ( А) и перечислить основные требования ( аксиомы), которым должны удовлетворять сами рассматриваемые подмножества и их нормы, чтобы мы действительно имели нормированную алгебру Буля. Такой метод аксиоматического построения теории вероятностей ( предложенный в 1929 г. А. Н. Колмогоровым) обладает определенными преимуществами перед методом, изложенным выше в настоящем параграфе, при исследовании более сложных и тонких вопросов теории и поэтому он является в настоящее время наиболее распространенным; более подробное его изложение увело бы нас, однако, слишком далеко в сторону от нашей основной темы. [14]
Ото число называют абсолютной величиной элемента А или его нормой, а саму алгебру Буля в этом случае называют нормированной. В качестве примеров можно привести семейство плоских фигур, принадлежащих квадрату со стороной единица ( сам квадрат играет роль элемента / этой алгебры Буля), где за абсолютную величину или норму фигуры Л принята ее площадь, пли множество всех делителей не делящегося ни на какой квадрат целого числа N ( например, числа 30), где под нормой числа А понимается logNA ( в нашем случае log A); совокупность всех предложений математической логики также можно рассматривать как нормированную алгебру Буля, если условиться считать абсолютную величину ( норму) предложения равной 1, если это предложение истинно, и равной 0, если оно ложно. Примером нормированной алгебры Буля является и та алгебра событий, которая изучалась в § § 1 - 3; здесь роль абсолютной величины или нормы события А играет вероятность р ( А) этого события. [15]