Cтраница 1
Алгебра векторов и матриц уже давно получила широкое распространение в различных областях естественных наук и техники. Весьма успешно применялась она и в теории электрических цепей, что ( как уже отмечалось во введении) позволило дать наиболее общее описание и обоснование многим расчетным методам и приемам, используемым в электротехнике. [1]
Возможности обобщения алгебры векторов на размерности выше двух чрезвычайно ограничены. [2]
Ниже перечислены некоторые сведения из алгебры векторов. [3]
Это значит, что по крайней мере все формулы алгебры векторов, написанные строчными буквами, будут служить формулами алгебры винтов, если их написать прописными буквами, При этом всегда в новых формулах модулю вектора будет соответствовать комплексный модуль винта, а углу между двумя векторами - комплексный угол между осями двух винтов. [4]
Подобно тому как теория групп родилась из рассмотрения подстановок, изучение алгебры векторов в геометрии привело к созданию весьма важного алгебраического понятия. [5]
Понятие мотора ( соединение сяов жомент и вектор) широко использовали ранее в алгебре векторов. Этот математический образ связан со следующим обстоятельством. [6]
Формулы, выражающие сумму, скалярное и винтовое произведения винтов через внутренние величины - модули и углы, - оказались совершенно идентичными с соответствующими формулами для векторов при условии, что в последних модуль вектора заменяется комплексным модулем винта, а обыкновенный угол между прямыми - комплексным углом. Тождественность основных формул алгебры векторов и алгебры винтов показана в следующей таблице соответствия. [7]
Если же моменты r t не равны нулю, то, как это было показано в главе III, можно образовать комплексные векторы rt cofv, для которых аналогично записываются основные формулы векторной алгебры, но они в то же время будут и формулами для винтов Rt, соответствующих этим комплексным векторам. Поэтому основные формулы алгебры векторов, написанные малыми ( строчными) буквами, одновременно служат основными формулами теории винтов, если их переписать большими ( прописными) буквами. [8]
Дело в том, что в алгебре векторов все их направления полностью определены. А когда мы имеем дело с векторными полями, то их направления в разных местах различны. Когда мы пробуем описать векторное поле, например, в полярных координатах, то радиальное направление меняется от точки к точке. [9]
В качестве комментария рассмотрим частный случай, когда G есть группа 5О ( 3) вращений твердого тела в трехмерном евклидовом пространстве вокруг неподвижной точки. Хорошо известно, что ее алгебра д so ( 3) изоморфна алгебре векторов трехмерного ориентированного евклидова пространства со стандартным векторным произведением. [10]
Подумайте, не обнаружится ли лучший, например, менее трудоемкий, подход к решению. При этом в ходе-самого решения допустимо привлечение любых формул, теорем, правил алгебры векторов и преобразований к решению геометрических задач, тригонометрии - к решению задач алгебры и геометрии, использование метода координат, свойств функций и производных, способа проб и подбора, рассуждений по соображению, лишь бы полученный Вами ответ был в конечном счете строго обоснован. Иными словами, Вам разрешается в условиях экзамена переходить границы между разными разделами математики во всех направлениях, поскольку Вы отчитываетесь за полный курс математики. [11]
Подумайте, не обнаружится ли лучший, например менее трудоемкий, подход к решению. При этом в ходе самого решения допустимо привлечение любых формул, теорем, правил алгебры векторов и преобразований к решению геометрических задач, тригонометрии - к решению задач алгебры и геометрии, использование метода координат, свойств функций и производных, лишь бы полученный Вами ответ был в конечном счете строго обоснован. Иными словами, Вам разрешается в условиях экзамена переходить границы между разными разделами математики во всех направлениях, поскольку Вы отчитываетесь за полный курс математики. [12]
Подумайте, не обнаружится ли лучший, например менее трудоемкий, подход к решению. При этом в ходе самого решения допустимо привлечение любых формул, теорем, правил алгебры векторов и преобразований к решению геометрических задач, тригонометрии - к решению задач алгебры и геометрии, использование метода координат, свойств функций и производных, лишь бы полученный Вами ответ был в конечном счете строго обоснован. [13]
Подумайте, не обнаружится ли лучший, например, менее трудоемкий, подход к решению. При этом в ходе самого решения допустимо привлечение любых формул, теорем, правил алгебры векторов и преобразований к решению геометрических задач, тригонометрии - к решению задач алгебры и геометрии, использование метода координат, свойств функций и производных, способа проб и подбора, рассуждений по соображению, лишь бы полученный Вами ответ был в конечном счете строго обоснован. Иными словами, Вам разрешается в условиях экзамена переходить границы между разными разделами математики во всех направлениях, поскольку Вы отчитываетесь за полный курс математики. [14]
Сказанное составляет принцип перенесения для комплексной векторной алгебры - алгебры винтов. На основании этого принципа таблица соответствия может быть продолжена для множества других формул таким образом, что левой ее половине, относящейся к вектору, всегда будет соответствовать правая половина, относящаяся к винтам. Замена строчных букв прописными означает замену вещественных величин комплексными. На формулы алгебры векторов можно смотреть как на неразвернутые формулы алгебры винтов: написав первые прописными буквами, придаем им комплексное значение и затем развертываем. Таким образом, получаются комплексные формулы преобразования координат, формулы более общего комплексного аффинного преобразования, формулы комплексной сферической тригонометрии и др. Перенесение формул алгебры векторов на алгебру винтов теряет смысл тогда, когда модули векторов обращаются в нуль. В этих исключительных случаях соответствующие винты являются вырожденными и для них требуется специальный анализ. [15]