Cтраница 1
Алгебра Стинрода и двойственная ей. [1]
Алгебра Стинрода / есть алгебра всех стабильных операций над полем - ZZ -, умножение в которой определяется через композицию операций. [2]
Гомологии алгебры Стинрода связаны с частичными операциями очевидным образом: первая строка - это примерные операции, вторая - соотношения в алгебре Стиырода, то есть вторичные операции, третья - соотношения между ними, то есть третичные операции, и так далее. [3]
Дальнейшее вычисление гомологии алгебры Стинрода производится алгоритмические образом. [4]
Примером алгебры Хопфа является алгебра Стинрода. [5]
В случае, если А - алгебра Стинрода, то эта конструкция согласована с формулой Кюннета: если X и У - любые пространства, то ff ( X& Y % p) ff ( X2 р) Н ( У Я Таким образом, / 7 / Х YJ2 / 0 является А-модулем по двум причинам: во-первых, когомологии любого пространства являются А-модулем; во-вторых, структура А-модуля может быть введена с помощью общей конструкции, так как А - алгебра Хопфа. Формула Картана показывает, что эти структуры одинаковы. [6]
Эти операции были введены Новиковым для вычисления когомологий алгебры Стинрода Ар и модулей над Лр. Этот результат был также доказан Тода ( 1960), использовавшим другой подход. Следовательно, кольцо vrf локаль-но-нильпотентно, хотя и не является нильпотентным в строгом смысле. Мэй опубликовал статью, доказывающую ( на немного более общем категорном языке) все основополагающие результаты, нужные для этих операций. Общая теорема нильпотентности была доказана Хопкинсом, Девинацем и Смитом в середине 1980 - х годов. В своей простейшей форме она утверждает, что если когомологий H ( XjZ) кольцевого спектра X ( или стабильного пространства с мультипликативной структурой типа стабильных пространств Тома) не имеют кручения, то любой элемент из Тогтг. [7]
Методы обоих авторов близки и основаны на применении новых сведений об алгебре Стинрода к схеме Картана - Серра вычисления гомотопических групп сфер. Милнором [6] и Адамсом [97] проведено глубокое изучение структуры алгебры Стинрода А. [8]
В работе Мукада [30] исправлены некоторые неточности, допущенные Тода [31] в описании правых идеалов алгебры Стинрода. Известные соотношения Адема ( уже упоминавшиеся выше) были заново выведены Коэном [32] из результатов Милнора о строении алгебры Стинрода. [9]
На базе этой теоремы вычисляются когомологий Н ( Х, Z2), где X имеет тип K ( jL -, п), и алгебра Стинрода А. [10]
Методы обоих авторов близки и основаны на применении новых сведений об алгебре Стинрода к схеме Картана - Серра вычисления гомотопических групп сфер. Милнором [6] и Адамсом [97] проведено глубокое изучение структуры алгебры Стинрода А. [11]
Таким образом, другое доказательство теоремы Браудера может быть получено из тех соображений, что алгебра Стинрода действует на гомологиях H QMO ( 1) и все сферические элементы в кольце Понтрягина обязательно переходят в нуль при действии операций Стинрода. [12]
В работе Мукада [30] исправлены некоторые неточности, допущенные Тода [31] в описании правых идеалов алгебры Стинрода. Известные соотношения Адема ( уже упоминавшиеся выше) были заново выведены Коэном [32] из результатов Милнора о строении алгебры Стинрода. [13]
Дальнейшее развитие теории гладких структур на сферах и других многообразиях будет обсуждено позднее, в следующем параграфе. Для исследования гомотопических свойств пространств Тома универсальных расслоений Mjv ( G) для G О, SO, U, SU, Sp, Spin и др. следует вычислить их когомологии H ( Mn ( G), Zp) и действие операций Стинрода - т.е. вычислить когомологии как модуль над алгеброй Стинрода ( см, гл. За исключением H ( M ( Spin), Z2), когомологии извлекаются из того наблюдения, что для универсальных G-расслоений G - О, SO, U, SU, Sp вложение г: BG - Mn ( G) базы как нулевого сечения порождает мономорфизм когомологии на простой главный идеал, порождаемый г ( ип), где ип - фундаментальный класс Тома. [14]