Cтраница 1
Центральная алгебра с делением является циклической в том и только том случае, когда цикличны ее при-марные компоненты. [1]
Со всякой простой центральной алгеброй тесно связана серия первичных алгебр. [2]
Теорема 3.1. Алгебра А является простой центральной алгеброй над полем К тогда и только тогда, когда гомоморфизм Т: А 8 Л - У Е ( Л), определенный выше, есть изоморфизм. [3]
Тогда алгебра дифференцирований DerO является 14-мерной простой центральной алгеброй Ли. При этом DerO InderO, и всякое дифференцирование D из DerO имеет вид D - J ] Dx. [4]
Таким образом, алгебры кватернионов являются простыми центральными алгебрами. В § 13.1 мы покажем, что любая четырехмерная центральная простая алгебра над полем F характеристики 2 является алгеброй кватернионов. Набросок доказательства этого факта содержится в упр. [5]
Тогда алгебра дифференцирований Der О является 14-мерной простой центральной алгеброй Ли. [6]
Теорема 3.2. Всякий идеал алгебры А % В, где А - простая центральная алгебра, имеет вид А /, где 1 - идеал алгебры В. [7]
Теорема 6.3. А A ( G, L, у) есть простая центральная алгебра над полем К, a L - ее поле расщепления. [8]
Ап задают ( п 1) - мерную действительную алгебру, называемую алгеброй Боуза - Меснера [12], или центральной алгеброй [35] схемы. Второе название вытекает из того факта, что если схема получена из группы перестановок, как это описано выше, то эта алгебра есть в точности множество матриц, коммутирующих со всеми матрицами в матричном представлении группы. Заметим, что если схема метрическая, то AI порождает центральную алгебру. [9]
Если К не является с самого начала центральной алгеброй над Р, то выберем в качестве нового основного поля Р центр Z тела К. Пусть S - произвольное максимальное подполе в К. [10]
Если К не является с самого начала центральной алгеброй над Р, то выберем в качестве нового основного поля Р центр Z тела К. Пусть 2 - произвольное максимальное подполе в К. [11]
Ап задают ( п 1) - мерную действительную алгебру, называемую алгеброй Боуза - Меснера [12], или центральной алгеброй [35] схемы. Второе название вытекает из того факта, что если схема получена из группы перестановок, как это описано выше, то эта алгебра есть в точности множество матриц, коммутирующих со всеми матрицами в матричном представлении группы. Заметим, что если схема метрическая, то AI порождает центральную алгебру. [12]
Первые примеры алгебр с делением, которые были обнаружены после открытия кватернионов, принадлежат классу циклических алгебр с делением. Этот класс алгебр по-прежнему играет главную роль в теории центральных простых алгебр. Если поле F локально либо является полем алгебраических чисел или, более общо, глобальным полем, то каждая центральная алгебра с делением над F циклична. Это утверждение ( которое будет доказано ниже) является одним из самых глубоких результатов, изложенных в этой книге. [13]