Cтраница 1
Любая универсальная алгебра, операции которой унарны, может рассматриваться как полигон над свободным моноидом А; где А есть множество этих операций. [1]
Ясно, что любая универсальная алгебра может быть реализована указанным способом. Коммутативным диaгpa шaм в категории Т соответствуют тождества в / - алгебрах. Гомоморфизмами Г - алгебр являются естественные преобразования функторов. Таким образом, все построенные Г - алгебры образуют многообразие, по которому категория Т восстанавливается однозначно. Действительно, пусть С С п О - клон главных производных операций свободной алгебры счетного ранга этого многообразия. Таким образом, категорный подход к универсальным алгебрам эквивалентен изучению многообразий и клонов главных производных операций. Категорный подход к универсальным алгебрам интересен тем, что позволяет рассматривать универсальные алгебры над произвольной категорией с прямыми произведениями. [2]
Как и решетка подалгебр любой универсальной алгебры, Sub S для всякой полугруппы S является алгебраической решеткой. [3]
Утверждение о том, что для любой универсальной алгебры Л системы подалгебр алгебры Л и изоморфизмов между ними обладают свойствами а) - ж) также очевидно. [4]
Многие из структур, в том числе структура подмножеств любого множества и структура подалгебр любой универсальной алгебры, обладают тем свойством, что пересечения и объединения определены в них не только для двух и поэтому, в силу ассоциативности, для любого конечного числа элементов, но и для всех бесконечных подмножеств. Это приводит к следующему понятию. [5]
У) всех подмногообразий многообразия У образует относительно включения полную решетку, которая ( как и в случае любых универсальных алгебр) антиизоморфна решетке всех вполне характеристических конгруэнции на У-свободной полугруппе счетного ранга. В этой решетке инфимум совпадает с теоретико-множественным пересечением, причем если для семейства Ti, , имеет место У / уаг. [6]
Полугруппа S называется подпрямо неразложимой, если любое ее представление в виде подпрямого произведения оказывается тривиальным. Как и любая универсальная алгебра, всякая полугруппа разложима в подпрямое произведение подпрямо неразложимых полугрупп. Класс полугрупп УС называется замкнутым относительно прямых [ подпрямых ] произведений, если для любого семейства JP-полугрупп прямое [ подпрямое. [7]