Cтраница 1
Редуктивные алгебры - это такие алгебры, у которых производные алгебры полупросты; они изоморфны произведениям абелевых и полупростых алгебр. Важность их связана с тем, что алгебры Ли компактных групп всегда редуктивны, но не всегда полупросты; кроме того, алгебра Ли полной линейной группы - редуктивная, но не полупростая алгебра. Теорема Вейля отчасти обобщается на случай редуктивных алгебр Ли: представление редуктивной алгебры Ли полупросто тогда и только тогда, когда оно индуцирует полупростое представление центра алгебры. С другой стороны, для того чтобы алгебра Ли g над полем характеристики 0 была редуктивна, необходимо и достаточно, чтобы она обладала по меньшей мере одним точным полупростым представлением. Отметим существенную разницу между случаем алгебр Ли и случаем ассоциативных алгебр: в последнем всякая алгебра, допускающая точное полупростое представление, сама полупроста и, следовательно, все ее представления полупросты. [1]
Пусть g - редуктивная алгебра Ли и а - ее подалгебра, такая, что g есть прямая сумма а и некоторого векторного пространства т, для которого [ а, т ] ст. Тогда алгебра а редуктивна. [2]
Тогда каждая из этих алгебр Ли интегрируема. Редуктивные алгебры Ли также интегрируемы. Максимальные линейные коммутативные алгебры функций строятся при этом явно и оказываются полиномиальными алгебрами. [3]
Редуктивные алгебры - это такие алгебры, у которых производные алгебры полупросты; они изоморфны произведениям абелевых и полупростых алгебр. Важность их связана с тем, что алгебры Ли компактных групп всегда редуктивны, но не всегда полупросты; кроме того, алгебра Ли полной линейной группы - редуктивная, но не полупростая алгебра. Теорема Вейля отчасти обобщается на случай редуктивных алгебр Ли: представление редуктивной алгебры Ли полупросто тогда и только тогда, когда оно индуцирует полупростое представление центра алгебры. С другой стороны, для того чтобы алгебра Ли g над полем характеристики 0 была редуктивна, необходимо и достаточно, чтобы она обладала по меньшей мере одним точным полупростым представлением. Отметим существенную разницу между случаем алгебр Ли и случаем ассоциативных алгебр: в последнем всякая алгебра, допускающая точное полупростое представление, сама полупроста и, следовательно, все ее представления полупросты. [4]
Редуктивные алгебры - это такие алгебры, у которых производные алгебры полупросты; они изоморфны произведениям абелевых и полупростых алгебр. Важность их связана с тем, что алгебры Ли компактных групп всегда редуктивны, но не всегда полупросты; кроме того, алгебра Ли полной линейной группы - редуктивная, но не полупростая алгебра. Теорема Вейля отчасти обобщается на случай редуктивных алгебр Ли: представление редуктивной алгебры Ли полупросто тогда и только тогда, когда оно индуцирует полупростое представление центра алгебры. С другой стороны, для того чтобы алгебра Ли g над полем характеристики 0 была редуктивна, необходимо и достаточно, чтобы она обладала по меньшей мере одним точным полупростым представлением. Отметим существенную разницу между случаем алгебр Ли и случаем ассоциативных алгебр: в последнем всякая алгебра, допускающая точное полупростое представление, сама полупроста и, следовательно, все ее представления полупросты. [5]
Алгебра g допускает полупростое точное представление ( предложение 3 § 4 гл. Отсюда следует, что присоединенное представление а алгебры gt ( V) индуцирует полупростое представление алгебры g ( следствие 2 предложения 4 § 4 гл. Мы хотим показать, что наибольший идеал п алгебры а, состоящий из нильпотентных элементов алгебры gl ( V), совпадает с 0; отсюда, в силу теоремы 3, будет вытекать, что а - редуктивная алгебра. [6]
Пространство V, таким образом, оказывается прямой суммой допустимых относительно о подпространств, причем ограничения представления о на эти подпространства являются полупростыми; так как это верно для всех / ( 1 / / г), то представление о полупростое. Пусть X есть / г-я тензорная сумма представления a, a Wh - пространство этого представления. Тогда в Wb существует подпространство, допустимое относительно X и такое, что ограничение X на это подпространство эквивалентно т; чтобы доказать, что т полупросто, достаточно убедиться, что X полупросто. Итак, нам нужно доказать, что если о - полупростое представление алгебры g и если Н - целое неотрицательное число, то / г-я тензорная сумма представления о - полупростое представление. Пусть п - ядро о; тогда о индуцирует точное полупростое представление о алгебры g / n, а это показывает, что g / n - редуктивная алгебра. Поэтому достаточно показать, что X - полупростое представление. [7]