Cтраница 1
Базисные алгебры были введены Несбиттом и Скоттом [60], причем они приписывают это понятие Брауэру. [1]
Пусть В - общая базисная алгебра алгебр AI и Л2, Q - проективный S-модуль, соответствующий регулярному Л2 - модулю, Р - проективный Лгмодуль, соответствующий Q. Q входят прямыми слагаемыми все главные Б - модули. [2]
Это равносильно тому, что базисные алгебры алгебр Л и Б изоморфны, что, в свою очередь, равносильно эквивалентности алгебр Л и В в смысле Мориты. Отношение подобия оказывается отношением эквивалентности. Если [ Л ] - класс этой эквивалентности, содержащий алгебру А, то определение [ Л ] [ В ] [ Л о В ] превращает множество классов в периодическую абелеву группу, которая называется группой Брауэра поля Ф ( см. [76], § 12.5; [96], § 4.1, теорема 4.4.4; [31], § V. Отсюда вытекает, что группа Брауэра алгебраически замкнутого поля одноэлементна ( [76], с. [3]
Пусть А - артинова справа алгебра, а В - ее базисная алгебра. Тогда существует взаимно однозначное соответствие между классами изоморфизма правых А-модулей и классами изоморфизма правых В-модулей, при котором неразложимым модулям отвечают неразложимые модули, а конечна порожденным А-модулям - конечно порожденные В-модули. [4]
Более того, D и D2 - центральные f - алгебры в силу примера 12.1. Поэтому импликация ( i) - ( ii) есть следствие замечания из примера 6.6 о том, что алгебра D является базисной алгеброй алгебры A, a D2 - базисной алгеброй алгебры В. Следовательно, алгебры А и В имеют изоморфные базисные алгебры. [5]
Более того, D и D2 - центральные f - алгебры в силу примера 12.1. Поэтому импликация ( i) - ( ii) есть следствие замечания из примера 6.6 о том, что алгебра D является базисной алгеброй алгебры A, a D2 - базисной алгеброй алгебры В. Следовательно, алгебры А и В имеют изоморфные базисные алгебры. [6]
Конечномерные центральные простые алгебры над полем Ф называются подобными, если Мт ( Ф Ф / 4) Л4П ( Ф 8 Ф й) для подходящих тип. Это равносильно тому, что базисные алгебры алгебр А и В изоморфны, что, в свою очередь, равносильно эквивалентности алгебр, А и В в смысле Мориты. Отношение подобия оказывается отношением эквивалентности. Если [ А ] - класс этой эквивалентности, содержащий алгебру А, то определение [ А ] [ В ] [ A S о В ] превращает множество классов в периодическую абелеву группу, которая называется группой Брауэра поля Ф ( см. [76], § 12.5; [96], § 4.1, теорема 4.4.4; [31], § V. Отсюда вытекает, что группа Брауэра алгебраически замкнутого поля одноэлементна ( [76], с. [7]
Более того, D и D2 - центральные f - алгебры в силу примера 12.1. Поэтому импликация ( i) - ( ii) есть следствие замечания из примера 6.6 о том, что алгебра D является базисной алгеброй алгебры A, a D2 - базисной алгеброй алгебры В. Следовательно, алгебры А и В имеют изоморфные базисные алгебры. [8]
Следствие 5.7. Всякая алгебра А изоморфна алгебре эндоморфизмов проективного модуля Р над приведенной алгеброй В. Алгебра В определена однозначно ( с точностью до изоморфизма) и изоморфна базисной алгебре алгебры А. [9]
Доказать, что алгебра минимальна тогда и только тогда, когда минимальна ее базисная алгебра. [10]
Поскольку обобщенная однорядность может быть охарактеризована в терминах категории модулей ( например, условием 1) теоремы 1.1), однотипные алгебры обобщенно однорядны одновременно. В частности, алгебра А обобщенно однорядна тогда и только тогда, когда обобщенно однорядна ее базисная алгебра. [11]
Базисные алгебры были введены Несбиттом и Скоттом [60], причем они приписывают это понятие Брауэру. Там же рассматриваются базисные алгебры и устанавливается возможность представления алгебры в виде клеточной матричной алгебры как в упр. [12]
Алгебра В называется приведенной, если алгебра B / i ( B) является конечной прямой суммой алгебр с делением. В этом параграфе будет показано, что с каждой артиновой справа алгеброй А можно связать приведенную алгебру В, сохраняющую многие свойства исходной алгебры. Эта приведенная алгебра В однозначно определяется алгеброй А и называется базисной алгеброй для алгебры А. [13]