Cтраница 1
Нумерованная алгебра 3) называется конструктивной, если соответствующая нумерация v разрешима. Это определение хорошо согласуется с интуицией конструктивного. В то время как нумерация алгебры не связана с серьезными проблемами, возможности для построения конструктивной нумерации сильно ограничены. Нетрудно понять, что каждая конечная алгебра допускает конструктивизацию. Имеются и важные общие результаты, связанные с проблемой конструктивизации. [1]
Понятие нумерованной алгебры естественно переносится и на многосортный случай. [2]
Теория нумерованных алгебр и моделей имеет не очень большую историю. Первой обзорной статьей по этой теории была статья А. И. Мальцева [4], в которой разработана система понятий, систематизированы основные результаты, относящиеся к общим нумерованным алгебрам. Из более ранних работ следует отметить работы по нумерованным полям [11, 14], в которых получено довольно много интересных результатов, относящихся к полям. Настоящая статья посвящена исследованию вопросов, связанных с расширениями нумерованных алгебр. Впрочем, теорема 1 дает достаточные условия существования конструктивных ( даже сильно конструктивных) моделей Остальные же результаты во многом подчинены задаче отыскания аналога теоремы о расширении в теории моделей для нумерованных моделей. Формулируется гипотеза о достаточных условиях справедливости теоремы о расширении. Предлагаются некоторые технические средства для решения этой гипотезы. Оказалось, что известное в теории моделей понятие относительной модельной полноты [7] весьма полезно для решения задач расширения. С другой стороны, понятие теории трасцен-дентных элементов, естественно возникающее при исследовании, имеет и чисто теоретико-модельный интерес. Предложенных средств достаточно для обоснования гипотезы для многих известных разрешимых теорий. Справедливость же гипотезы в общем виде остается неизвестной. [3]
Соответственно определяется и нумерованная алгебра. Как и раньше, доказывается, что если в 12-алгебре 2Е все А - не более чем счетны, то 2Е допускает нумерацию. [4]
Теорема 4.2.3. Каждая позитивная нумерованная алгебра есть чр-мономорфный образ стандартно нумерованной алгебры, заданной рекурсивно перечислимой системой определяющих соотношений. Стандартная нумерация каждой простой позитивной нумерованной алгебры является конструктивной. [5]
Если ( ЗИ, v) - конструктивная алгебра, то для любого множества Мо СМ, такого, что v - ( MQ) рекурсивно перечислимо, существует такая нумерация подалгебры, порожденной в 9Я множеством Мо, что соответствующая нумерованная алгебра будет конструктивна и вложение будет гомоморфизмом конструктивных алгебр. [6]
Причем, используя сильную конструктивность ( S3, v), можно считать, что существуют нумерации va: N - S3a и va: N - S3a, такие, что ( S3a, va) и ( S3a, va) - сильно конструктивные булевы алгебры и ( S3, v) есть прямое произведение ( S3a, va) и ( S3a, va) как нумерованных алгебр. Заметим также, что если S3i - арифметическое расширение S0, то S3t X S32 - арифметическое расширение § 30 X S32 ( Это справедливо для любых моделей, а не только для булевых алгебр. Заметим еще, что в нашем случае S3a - безатомная булева алгебра. [7]
Теорема 4.2.3. Каждая позитивная нумерованная алгебра есть чр-мономорфный образ стандартно нумерованной алгебры, заданной рекурсивно перечислимой системой определяющих соотношений. Стандартная нумерация каждой простой позитивной нумерованной алгебры является конструктивной. [8]
Однако Своеобразие положения в теории нумерованных алгебр видно хотя бы уже из того, что основной концепцией этой теории служит не понятие изоморфизма нумерованных алгебр, а понятие их рекурсивной эквивалентности, что уже было отмечено в работе А. Шепердсона [1] по поводу теории полей. [9]
Однако Своеобразие положения в теории нумерованных алгебр видно хотя бы уже из того, что основной концепцией этой теории служит не понятие изоморфизма нумерованных алгебр, а понятие их рекурсивной эквивалентности, что уже было отмечено в работе А. Шепердсона [1] по поводу теории полей. [10]
Теория нумерованных алгебр и моделей имеет не очень большую историю. Первой обзорной статьей по этой теории была статья А. И. Мальцева [4], в которой разработана система понятий, систематизированы основные результаты, относящиеся к общим нумерованным алгебрам. Из более ранних работ следует отметить работы по нумерованным полям [11, 14], в которых получено довольно много интересных результатов, относящихся к полям. Настоящая статья посвящена исследованию вопросов, связанных с расширениями нумерованных алгебр. Впрочем, теорема 1 дает достаточные условия существования конструктивных ( даже сильно конструктивных) моделей Остальные же результаты во многом подчинены задаче отыскания аналога теоремы о расширении в теории моделей для нумерованных моделей. Формулируется гипотеза о достаточных условиях справедливости теоремы о расширении. Предлагаются некоторые технические средства для решения этой гипотезы. Оказалось, что известное в теории моделей понятие относительной модельной полноты [7] весьма полезно для решения задач расширения. С другой стороны, понятие теории трасцен-дентных элементов, естественно возникающее при исследовании, имеет и чисто теоретико-модельный интерес. Предложенных средств достаточно для обоснования гипотезы для многих известных разрешимых теорий. Справедливость же гипотезы в общем виде остается неизвестной. [11]
Эквивалентность 6а на 9t / o тогда и только тогда есть - отношение, когда - отношением на 91 является конгруэнтность а. Если ф есть R-гомоморфизм 9t на нумерованную алгебру 35, то канонический изоморфизм M / G на 95 есть R-мономорфизм. [12]
Теория нумерованных алгебр и моделей имеет не очень большую историю. Первой обзорной статьей по этой теории была статья А. И. Мальцева [4], в которой разработана система понятий, систематизированы основные результаты, относящиеся к общим нумерованным алгебрам. Из более ранних работ следует отметить работы по нумерованным полям [11, 14], в которых получено довольно много интересных результатов, относящихся к полям. Настоящая статья посвящена исследованию вопросов, связанных с расширениями нумерованных алгебр. Впрочем, теорема 1 дает достаточные условия существования конструктивных ( даже сильно конструктивных) моделей Остальные же результаты во многом подчинены задаче отыскания аналога теоремы о расширении в теории моделей для нумерованных моделей. Формулируется гипотеза о достаточных условиях справедливости теоремы о расширении. Предлагаются некоторые технические средства для решения этой гипотезы. Оказалось, что известное в теории моделей понятие относительной модельной полноты [7] весьма полезно для решения задач расширения. С другой стороны, понятие теории трасцен-дентных элементов, естественно возникающее при исследовании, имеет и чисто теоретико-модельный интерес. Предложенных средств достаточно для обоснования гипотезы для многих известных разрешимых теорий. Справедливость же гипотезы в общем виде остается неизвестной. [13]