Cтраница 1
Существует единственная одномерная алгебра Ли - это прямая R с нулевым коммутатором. [1]
Замыкание одномерных алгебр в G сводится к замыканию их в полном кольце матриц Р следующим путем. Если же замыкание А в Р не содержится в G, то замыканием А в G будет являться сама матрица А. [2]
Это непосредственно вытекает из следствия 2, примененного к одномерной алгебре, порожденной Я. [3]
Таким образом, алгебра Ли Lie ( G) изоморфна одномерной алгебре Ли К с р-операцией а - ар. Ли аддитивной и мультипликативной групп при р char ( k) 0 различны. [4]
Действительно, уже аддитивная группа R и окружность R / Z не изоморфны, хотя имеют одну и ту же алгебру Ли: коммутативную одномерную алгебру. Однако идеальное положение восстанавливается, если ограничиться связными и односвязными группами ( ср. [5]
Дифференцирования такого вида называются внутренними, а все остальные - внешними. Разумеется, вполне возможно, что ad x Q при х 0: например, так будет в любой одномерной алгебре Ли. Отображение L - Der L, имеющее вид х ь - ad х, называется присоединенным представлением алгебры L; во всем последующем изложении оно играет решающую роль. [6]
Аналогично, если G R, то единственное независимое право-инвариантное векторное поле - это хдх. Это и неудивительно: как может легко проверить читатель, из общего определения следует, что существует лишь одна одномерная алгебра Ли, а именно g R, и ее скобка Ли должна быть тривиальной. [7]
Если в алгебре L нет идеалов, кроме нее самой и нуля, причем [ L, LJT O, то L называется простой алгеброй. Условие [ L, Ц О ( т.е. что алгебра L неабелева) наложено для того, чтобы не придавать излишнее значение одномерной алгебре. [8]