Cтраница 1
Спинорная алгебра понятна из аналогии с тензорной алгеброй. Спинору 2 соответствует сопряженный спинор I1, 2 ( 1и 2 мДУ) - Сшштензоры но отношению к некоторым индексам могут преобразовываться как сопряженные спиноры. [1]
Спинорная алгебра недостаточно богата, чтобы служить основой такого подхода, но определенное ее расширение, а именно алгебра твисторов, действительно может рассматриваться как первичное по отношению к пространству-времени. Более того, оказывается возможным дать определение других физических понятий, исходя непосредственно из понятия твисторов и не обращаясь к промежуточной стадии точек пространства-времени. По существу цель твисторной теории состоит в том, чтобы всю фундаментальную физику перевести на твисторный язык. С известной долей спекулятивных рассуждений и различной степенью полноты понятия точки пространства-времени, кривизны, энергии-импульса, момента количества движения, квантования, структуры элементарных частиц и их внутренних квантовых чисел, волновых функций, полей в пространстве-времени ( включая их нелинейные взаимодействия) могут быть определены более или менее прямым путем на основе исходных положений теории твисторов. [2]
Спинорная алгебра строится аналогично тензорной алгебре. [3]
Изложение спинорной алгебры, по существу следующее классическим работам Ван дер Вардена, несколько приближено к современному математическому стилю; спинорная алгебра трактуется при этом как частный случай тензорной алгебры над комплексным векторным пространством в последовательно проведенных тензорных обозначениях. В первой части книги от читателя требуются лишь простейшие сведения о линейной алгебре и тензорах. [4]
Для дальнейшего развития спинорной алгебры решающим оказывается следующее замечание. [5]
Первая часть предлагаемой книги представляет собой введение в спинорную алгебру, не предполагающее у читателя никаких сведений о группах; все необходимое излагается по мере надобности, так что физик, не владеющий групповыми методами, найдет здесь простейшие примеры их применения. [6]
Как и в обычной тензорной алгебре, в спинорной алгебре имеются две основные операции - умножение и упрощение ( или свертывание) по паре индексов. [7]
Как и в обычной тензорной алгебре, в спинорной алгебре имеются две основные операции - умножение и упрощение ( или свертывание) по паре индексов. Упрощение по паре индексов ( т.е. суммирование компонент по одинаковым значениям одного ко - и одного контравариантного индексов) понижает ранг спинора на две единицы. [8]
СА Более того, это действие сохраняет косо-симметричную форму е и, стало быть, полную спинорную алгебру. [9]
Изложение спинорной алгебры, по существу следующее классическим работам Ван дер Вардена, несколько приближено к современному математическому стилю; спинорная алгебра трактуется при этом как частный случай тензорной алгебры над комплексным векторным пространством в последовательно проведенных тензорных обозначениях. В первой части книги от читателя требуются лишь простейшие сведения о линейной алгебре и тензорах. [10]
Работы [ 5, а-г ] изложены весьма сжато; в них не приняты во внимание упрощения, возникающие при замене группы Лоренца двулистной накрывающей SL ( 2), как ото делается в спинорной алгебре. Но самым существенным препятствием для ознакомления с указанными работами начинающих ( а может быть, и не только начинающих) физиков является способ построения, при котором с самого начала вводятся бесконечномерные унитарные представления группы Пуанкаре со ссылкой на упомянутую работу Вигнера. Результаты этого трудного математического исследования в их готовом виде не кажутся нам наилучшим подходом к рассматриваемому кругу вопросов. [11]
Спинорная алгебра шире, имеет более богатую структуру и упрощает многие геометрические рассуждения. Здесь видна аналогия с введением комплексных чисел как поля более широкого и богатого, чем поле вещественных чисел. Эти расслоения глобально тривиальны, а соответствующие расслоения над М и М уже нетривиальны, однако мы не хотим сейчас их вводить, поскольку в этой статье они нам не понадобятся. [12]
Поскольку мы хотим построить дифференциальные уравнения, выделяющие инвариантные подпространства полей, эти уравнения должны быть инвариантны относительно группы Пуанкаре и относительно замены базиса в пространстве Минковского и в спинорном пространстве; мы назовем уравнения такого рода просто инвариантными. Простейшие способы построения таких уравнений подсказываются аппаратом спинорной алгебры. Выразим компоненты этого спин-тензора через 9а д / дха, учитывая ковариантный характер последних ( ср. [13]