Cтраница 1
Квадрат линейного элемента ds есть квадратичная форма относительно дифференциалов криволинейных координат, а коэффициенты этой формы являются функциями этих же координат и зависят от способа задания рассматриваемой поверхности. [1]
Таким образом, квадрат линейного элемента пространства всегда является однородным квадратным многочленом относительно дифференциалов координат. Поэтому его и называют фундаментальной квадратичной формой пространства. [2]
Поверхности подобных многогранников относятся как квадраты сходственных линейных элементов многогранников. [3]
Выражение ( б) для квадрата линейного элемента в теории поверхностей называется первой квадратичной формой. Величины А и В называются коэффициентами первой квадратичной формы поверхности. [4]
Тот же самый результат мы найдем, если вычислим сначала квадрат линейного элемента в сферических координатах. [5]
Формулу для модуля скорости в полярных координатах легко получить, также воспользовавшись формулой для квадрата линейного элемента траектории ds2, записанного в этих координатах. [6]
В дальнейшем для сокращения речи применяются термины t - метрика и F-метрика в зависимости от того, какое определение квадрата линейного элемента - (1.1.9) или (1.1.10) - принято в данном рассмотрении. [7]
Те многообразия, для которых, как для плоскости и пространства, линейный элемент может быть приведен к виду У 2 ( dx) 2, образуют частный случай изучаемых нами многообразий; они, без сомнения, заслуживают особого наименования, и потому я буду многообразия, для которых квадрат линейного элемента приводится к сумме квадратов независимых дифференциалов, называть плоскими. [8]
Рассмотрим квадрат линейного элемента в пространстве конфигураций. [9]
По совершенно аналогичному пути можно идти к поставленной цели и в том случае, если линейный элемент многообразия задается менее простым выражением, например в виде корня четвертой степени. В этом случае, вообще говоря, линейный элемент не может быть приведен к виду корня квадратного из суммы квадратов дифференциальных выражений, и в выражении для квадрата линейного элемента отклонение от плоскости было бы бесконечно малой величиной второго порядка, тогда как для ранее рассмотренных многообразий оно четвертого порядка. Уместно было бы сказать, что последние упомянутые многообразия являются плоскими в бесконечно малых частях. Но наиболее важное с установленной нами точки зрения свойство этих многообразий, обусловливающее то, почему исключительно они одни здесь исследуются, заключается в том, что метрические отношения в случае двукратной протяженности допускают геометрическое истолкование посредством поверхностей, а в случае многократной протяженности могут быть сведены к рассмотрению метрических отношений на содержащихся в них поверхностях. К последнему замечанию необходимо теперь дать некоторые краткие пояснения. [10]