Cтраница 2
Очевидно также, что б ( п) является гомоморфизмом - модулей. Коммутативность диаграммы устанавливается путем стандартных вычислений, использующих предположение о том, что ф - гомоморфизм бимо-дулей. Доказательство того, что б ( га 1) б ( я) 0, требует утомительных вычислений. [16]
Следовательно ( предложение 2), ф совершенно; с другой стороны, предложение 4 показывает, что ( g f) Xix совершенно. В силу а) и коммутативности диаграммы ( 1), г з о / совершенно, и так как г з инъективно, то из в) вытекает, что / совершенно. [17]
Предмет этой главы составляют специфические свойства, присущие таким категориям, как АЬ, Л - Mod, Mod - Л и R - Mod - S. Все они являются Afr-категориями ( horn - множества представляют собой абелевы группы, причем композиция билинейна), всегда существуют конечные пределы и копределы, и эти пределы хорошо себя ведут - в особенности ядро и коядро. Отсюда возникает совокупность аксиом, описывающих абелеву категорию. Этих аксиом достаточно, чтобы установить все факты о коммутативности диаграмм и связях между морфизмами, которые в теории абелевых групп доказываются в терминах элементов. Мы доводим изложение до этого места, оставляя последующие вопросы гомологической алгебры для более специального рассмотрения. [18]