Cтраница 2
Аристотель доказывает первый из этих законов при помощи так называемого выделения, которо-е основывается, как мы позже увидим, на логическом процессе, лежащем вне пределов силлогистики. И так как оно не может быть доказано другим путем, оно должно быть сформулировано в качестве новой аксиомы системы. Обращение посылок вида Л доказывается при помощи квадрата противоположностей, о котором в Первой аналитике вообще не упоминается. Поэтому мы должны принять в качестве четвертой аксиомы или этот закон обращения, или то положение квадрата противоположностей, из которого этот закон следует. Лишь закон обращения посылок вида / может быть доказан без новой аксиомы. [16]
Аристотель осуществляет это доказательство интуитивно. [17]
Аристотель в своем систематическом исследований силлогистических форм не только доказывает истинность одних из них, но также показывает, что все другие ложны и должны быть отброшены. Давайте разберем на примере, как поступает Аристотель, когда он отбрасывает ложные формы силлогизма. Пусть даны следующие две посылки: А присуще всякому В и В не присуще ни одному С. Это первая фигура А является первым, или большим, термином, В - средним, а С - последним, или меньшим, термином. [18]
Аристотель здесь, как и в первом примере, начинает доказательство отбрасывания с того, что приводит конкретные термины. [19]
Аристотель сводит так называемые несовершенные силлогизмы к совершенным, то есть к аксиомам. Сведение здесь означает доказательство или выведение теорем из аксиом. Он использует три рода доказательств: посредством обращения, посредством reductio ad impossi-bile и посредством выделения. [20]
Аристотель пользуется ими интуитивно, однако вскоре после него стоики, которые изобрели первую систему пропозициональной логики, сформулировали некоторые из них явно - сложный закон транспозиции и так называемую синтетическую теорему, которая приписывается Аристотелю, но которой пет в его сохранившихся логических сочинениях. Новый логический элемент, по-видимому, заключают в себе доказательства посредством выделения: они могут быть объяснены с помощью кванторов существования. Систематическое введение в силлогистику кванторов совершенно изменило бы эту систему: основной термин Некоторое - есть мог бы быть определен через термин Всякое - есть, кроме того, возникло бы много новых положений, неизвестных Аристотелю. [21]
Аристотель систематически не исследовал так называемые полисиллогизмы, то есть силлогизмы с более чем тремя терминами и двумя посылками. Как мы уже видели, Гален изучал сложные силлогизмы, состоящие из четырех терминов и трех посылок. Было бы повторением старой ошибки приписывать Галену авторство четвертой фигуры: Гален разделил сложные силлогизмы, состоящие из четырех терминов, на четыре фигуры, но не просто на те, которые известны нам по их средневековым наименованиям. Его исследования были совершенно забыты. [22]
Аристотель утверждает: Если некоторое а есть 6, то необходимо, чтобы некоторое b было а. Выражение необходимо, чтобы, по моему мнению, может здесь иметь только один смысл - невозможно найти такие значения переменных а и 6, которые, удовлетворяя антецеденту, в то же время не удовлетворяли бы кон-секвенту. Другими словами, это значит: Для всякого а и для всякого 6, если некоторое а есть 6, то некоторое b есть а. Было доказано, что это положение эквивалентно бескванторной форме закона обращения Если некоторое а есть 6, то некоторое b есть а, которая не содержит признака необходимости. Так как силлогистическая необходимость эквивалентна квантору общности и может быть опущена, то и квантор общности может быть опущен, когда он стоит перед истинной формулой. [23]
Аристотель отбрасывает большинство неправильных силлогистических форм, поясняя их примерами с конкретными терминами. [24]
Аристотель допускает, что некоторые необходимые, то есть аподиктические, - предложения истинны и должны быть примяты. [25]
Аристотель, конечно, не осознавал различия между этими двумя интерпретациями и их важности для модальной логики. [26]
Аристотель, однако, думает, что предложения Возможно, что завтра будет морское сражение и Возможно, что завтра не будет морского сражения сегодня оба могут быть истинными. Таким образом, согласно его идее случайности, случайные предложения могут быть истинными. [27]
Аристотель рассматривает модальную силлогистику по образцу своей ассерторической силлогистики. Силлогизмы подразделяются на фигуры и модусы; некоторые модусы принимаются как совершенные и не нуждающиеся в доказательстве в силу их самоочевидности; несовершенные модусы доказываются посредством обращения, reductio ad absurdum или же посредством так называемого выделения. Неправильные модусы отбрасываются с помощью их интерпретации на конкретных терминах. Кажется странным, что, за единственным исключением, Аристотель не применял теорем пропозициональной модальной логики. Мы увидим, что это привело бы в ряде случаев к более изящным и простым доказательствам, нежели тс, которые им даны. [28]
Аристотель молчаливо допускает, что модусы первой фигуры совершенны и не нуждаются в доказательстве. [29]
Аристотель рассматривает силлогизм ( s) как самоочевидный. По причинам, которые будут разъяснены позже, затруднительно показать это на примерах. Однако следующая иллюстрация, возможно, сделает силлогизм ( в) более приемлемым для интуиции. Представим себе, что выражение LAba означает: Всякое b связано проволокой с а. Отсюда очевидно, что всякое с ( поскольку всякое с есть Ь) также связано проволокой с а, то есть ЬАса. [30]