Cтраница 3
Мы убедились, что условия теоремы Арцела необходимы; докажем теперь их достаточность. [31]
Достаточность условий теоремы доказана в теореме Арцела - Асколи. Необходимость условия ограниченности функций / ( л:) из А одним числом вытекает из теоремы 1 предыдущего параграфа, ибо ограниченность множества А, вытекающая согласно этой теореме из его компактности, и означает, что функции, входящие в Л, ограничены одним числом. Остается установить необходимость условия равностепенной непрерывности. Допустим, что это условие не выполнено. [32]
Сформулируем теперь один из вариантов теоремы Арцела ( его можно доказать при помощи стандартных рассуждений ( см. Манкрс ( 1975, разд. [33]
Это утверждение является непосредственным следствием условия Арцела компактности семейства функций на конечном интервале. [34]
Свойство равностепенной непрерывности используется в следующей теореме Арцела. [35]
В этих терминах условие 5-компактности напоминает условия Арцела: функции должны быть равномерно ограниченными и равностепенно квазинепрерывными. [36]
Применения теоремы компактности и обобщенной теоремы Вейерштрасса у Арцелы многообразны. [37]
В некотором смысле еще проще ту же теорему Арцелы независимо доказал Борель [ 8, с. [38]
Тепер твердження леми стае наслщком вШомоК теореми AcKoni - Арцела ( див. [39]
Из оценок (2.16), (2.17), (2.21) и теоремы Арцела [36] следует утверждение леммы. [40]
Из оценок (2.16), (2.17), (2.21) и теоремы Арцела [36] следует утверждение леммы. [41]
Ясно, что эта теорема является весьма широким обобщением леммы Арцелы, рассмотренной нами в разд. [42]
Введя принадлежащее Асколи понятие равностепенной непрерывности семейства функций и, Арцела [ 3, с. Не останавливаясь на деталях рассуждения Арцелы, процитируем конец его доказательства. [43]
С помощью введенной здесь терминологии можно следующим образом сформулировать теорему Арцела: если последовательность / Ы С ( [ а, Ь ]) ограничена по метрике и равностепенно непрерывна на [ а, Ь ], то из нее можно выбрать сходящуюся по метрике подпоследовательность. [44]
Существование вытекает из аппроксимации поля v регулярными полями и теоремы Асколи - Арцела. [45]