Cтраница 2
В 4 найдены новые результаты по континуум-гипотезе Кантора. Оказалось, чтобы получить мощности, промежуточные между Ко и С, надо, чтобы в подмножествах происходило взаимодействие пар элементов, пропорциональное некоторому действительному числу а. То есть при подсчете мощности множества подмножеств элемент подмножества засчитывается с весом а 1, если он состоит из k элементов исходного множества. [16]
На сегодняшний день известно, что как континуум-гипотеза, так и обобщенная континуум-гипотеза не зависят как от аксиом ZF, так и от аксиом ZFC. Точнее, справедливы следующие теоремы. [17]
После теоремы Геделя-Козна о независимости, скажем, континуум-гипотезы от стандартных аксиом теории множеств ему должно быть ясно, что истинность, в отличие от доказуемости, есть скорее философское понятие, и неразумно ожидать его точного сведения к математическому определению. [18]
Например, в работе Кантора 1878 года была сформулирована континуум-гипотеза: всякое подмножество отрезка либо конечно, либо счетно, либо равномощно всему отрезку. Кантор написал, что это может быть доказано с помощью некоторого метода индукции, в изложение которого мы не будем входить здесь подробнее, но на самом деле доказать это ему не удалось. Более того, постепенно стало ясно, что утверждение континуум-гипотезы можно считать истинным или ложным, - при этом получаются разные теории множеств, но в общем-то ни одна из этих теорий не лучше другой. [19]
На сегодняшний день известно, что как континуум-гипотеза, так и обобщенная континуум-гипотеза не зависят как от аксиом ZF, так и от аксиом ZFC. Точнее, справедливы следующие теоремы. [20]
Ранее такое пространство было определено Майклом в [1971] при дополнительном предположении континуум-гипотезы. [21]
Сентмиклоси в [1978] показал, что в предположении аксиомы Мартина и отрицания континуум-гипотезы ( совместимом с обычными аксиомами теории множеств) каждый наследственно сепарабельный компакт совершенно нормален, а Юхас в [1970] вывел из того же предположения, что каждый совершенно нормальный компакт наследственно сепарабелен. [22]
В разделе 6.5 мы с помощью итерированных ультрастепеней исключим из следствия 4.3.11 применение обобщенной континуум-гипотезы. [23]
Предположение о том, что не существует множества М, для которого NQ М с, называют континуум-гипотезой. Это правдоподобное с интуитивной точки зрения предположение долгое время не удавалось ни доказать, ни опровергнуть. Лишь сравнительно недавно проблема, связанная с континуум-гипотезой, была решена, но в несколько необычном смысле, который разъяснится для нас чуть позже. [24]
Мы будем использовать пункт ( i) предложения 5.4.1 для доказательства полноты теорий в предположении, что справедлива континуум-гипотеза. В каждом таком случае имеется аналогичное доказательство, использующее пункт ( ii) предложения 5.4.1, которое показывает полноту теории без использования континуум-гипотезы. Однако работа со специальными моделями более сложна и возникающие дополнительные трудности могут заслонить основные идеи доказательства. Поэтому мы континуум-гипотезу используем только для упрощения доказательства, и ее всегда можно элиминировать, применяя специальные модели вместо насыщенных. [25]
Во многих случаях топосы позволяют по-новому взглянуть на основания математики; например, применение форсинга в доказательстве независимости континуум-гипотезы хорошо описывается посредством конструкций в топосах ( см. Mac Lane, Moerdijk [1992], Ch. Кроме того, соответствующие топосы могут заменить категорию множеств как основу математики. [26]
В последнее время удалось доказать, что с аксиомой выбора дело обстоит так лее, как и с континуум-гипотезой, то есть что эта аксиома не противоречит остальным аксиомам теории множеств и не выводима из них. [27]
Мы предполагаем справедливость континуум-гипотезы и будем использовать пункт ( i) предложения 5.4.1. Как мы уже объяснили выше, континуум-гипотеза может быть элиминирована, если воспользоваться пунктом ( п) предложения 5.4.1, при этом доказательство будет похожим, но более сложным. [28]
Два последних результата - теорема 6.2.5 и предложение 6.2.6 - были сначала доказаны Кейслером [ 1965d ] с применением континуум-гипотезы. Галвин [1965] нашел непрямой способ элиминации континуум-гипотезы из этого результата. [29]
Применяя предложение 6.3.19 и теорему Ершова, мы можем, наконец, заполнить пробел, возникший у нас при элиминации континуум-гипотезы в предыдущем разделе. [30]