Cтраница 3
КОНТИНУУМА ПРОБЛЕМА - задача, состоящая в том, чтобы доказать или опровергнуть средствами теории множеств следующее утверждение, называемое континуум-гипотезой ( к. [31]
Гедель ( 1939) показал, что если ZF непротиворечива, то она остается непротиворечивой и после добавления аксиомы выбора и континуум-гипотезы. Отсюда следует, что в ZF невозможно опровергнуть аксиому выбора или континуум-гипотезу. [32]
Например, верно ли, что всегда с ( ХХХ) с ( Х) оказывается связанным с гипотезой Сус-лина и континуум-гипотезой. [33]
Гедель ( 1939) показал, что если ZF - непротиворечива, то она остается непротиворечивой и после добавления аксиомы выбора и континуум-гипотезы. Отсюда следует, что в ZF невозможно опровергнуть аксиому выбора или континуум-гипотезу. [34]
Тот факт, что хорновские предложения устойчивы относительно фильтрованных произведений, был доказан в предложении 6.2.2, и в доказательстве не была использована континуум-гипотеза. Предположим теперь, что предложение ф устойчиво относительно фильтрованных произведений. Если ф противоречиво, то оно эквивалентно хорновскому предложению ( V. Так как мы имеем дело с одним предложением ф, то мы можем предположить, что язык X счетен. [35]
Однако равенство с К1, выражающее существование взаимно однозначного соответствия между точками R и не более чем счетными ординалами и обычно понимаемое под континуум-гипотезой в современных работах, опровергается аксиомой AD. К и, следовательно, существуют множества Витали и Лузина - контрпримеры к теоремам Банаха - Мычельского, Девиса и Мычельского - Сверчковского. Подключив к проведенному рассуждению следствие об отсутствии промежуточных мощностей, можно доказать в предположении AD, что всякое множество действительных чисел, которое можно вполне упорядочить, необходимо является не более чем счетным. [36]
На самом деле Гедель доказал, что гипотеза континуума не приводит к противоречивости теории множеств ( см. К - Гедель, Совместимость аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств. [37]
Наследственно нормальное пространство X, такое, что hd ( X) hc ( X) No, было построено Хайналом и Юхасом [1974] в предположении континуум-гипотезы. Намного более простая конструкция была описана Ван Дауэном, Холлом и Вейсом в [1977] ( ср. [38]
Существование моделей такого рода ( при условии непротиворечивости теории из V, § 13, Д доказывается, в частности, в книге Ко ша Теория множеств и континуум-гипотеза ( Мир, 1969), гл. [39]
Cohen) с помощью разработанного им вынуждения метода показал, что если ZF - непротиворечива, то она остается таковой и после присоединения любой комбинации из аксиомы выбора, континуум-гипотезы или их отрицаний. [40]
Cohen) с помощью разработанного им метода вынуждения показал, что если ZF - непротиворечива, то она остается таковой и после присоединения любой комбинации из аксиомы выбора, континуум-гипотезы или их отрицаний. [41]
Из этой теоремы, в частности, следует, что отрезок [0, 1] С R можно представить как предел возрастающей цепи множеств мощности меньше с, а в случае принятия континуум-гипотезы, - счетных множеств. Эта цепь, разумеется, не может быть счетной, иначе мы бы пришли к противоречию, например, со счетной аддитивностью меры Лебега. [42]
Можно также показать, что если мы откажемся от равномерности, но потребуем, чтобы каждое подмножество Q имело вероятность, и вероятность каждой точки из Q равнялась 0, то даже такое определение вероятности невозможно в случае, когда фазовое пространство Q счетно или имеет мощность континуума при условии, что справедлива континуум-гипотеза ( см. Birkhoff G. До сих пор неизвестно, существует ли пространство Q ( достаточно большой мощности), для которого можно определить вероятность, удовлетворяющую указанным выше условиям. В этом состоит так называемая проблема измеримых мощностей. [43]
Можно также показать, что если мы откажемся от равномерности, но потребуем, чтобы каждое подмножество S7 имело вероятность и вероятность каждой точки из f ] равнялась 0, то даже такое определение вероятности невозможно в случае, когда фазовое пространство f ] счетно или имеет мощность континуума при условии, что справедлива континуум-гипотеза ( см. Birkhoff G. До сих пор неизвестно, существует ли пространство S1 ( достаточно большой мощности), для которого можно определить вероятность, удовлетворяющую указанным выше условиям. В этом состоит так называемая проблема измеримых мощностей. [44]
Континуум-гипотеза интересна еще и потому, что сам Гедель, совместно с Полом Дж. Коэном, показал, что эта гипотеза в действительности не зависит от стандартных аксиом и правил теории множеств. Таким образом, отношение любого математика к континуум-гипотезе позволяет причислить его к сторонникам либо формалистской, либо платонистской точки зрения. Для формалиста данная гипотеза будет недоказуемой, поскольку ее справедливость не может быть установлена или опровергнута, если опираться на стандартную ( построенную Цермело и Френкелем) формальную систему, и, значит, не имеет смысла называть ее ни истинной, ни ложной. Однако, для убежденного платониста эта гипотеза является либо истинной, либо ложной, хотя какой именно - это можно установить только путем рассуждений некоторого нового типа, идущих еще дальше, чем использование геделевских утверждений для формальной системы Цермело-Френкеля. [45]