Cтраница 2
Характеристическое уравнение системы имеет два корня, и мы выберем коэффициент К так, чтобы минимизировать Y ( s) / D ( s), минимизировать S % и чтобы доминирующие корни занимали желаемое положение. [16]
Анализ рис. 5.13 ( a) показывает, что нуль s - а оказывает существенное влияние на переходную характеристику при а / С а 5, где - Cfo есть действительная часть доминирующих корней характеристического уравнения замкнутой системы. [17]
Нуль и полюс выбираются так, чтобы корневой годограф скорректированной системы имел приемлемую форму. Желаемое положение доминирующих корней определяется исходя из требований к качеству системы. [18]
Эти коэффициенты, которые определяются как вычеты в комплексных полюсах, в свою очередь зависят от положения нулей на - плоскости. Поэтому понятие доминирующих корней, хотя и является полезным для оценки реакции системы, но должно использоваться с осторожностью и с пониманием указанных выше факторов. [19]
Желаемое распределение полюсов и нулей устанавливают по заданным прямым показателям качества. Рассмотрим несколько основных простейших случаев определения желаемого распределения доминирующих корней исходя из условий, чтобы время регулирования Тр и перерегулирование а при воздействии единичной ступенчатой функции не превышали заданных значений Тт и ат. [20]
Стандартное разложение на простейшие дроби приводит к явному выражению для tyn. Большое преимущество этого метода в том, что знание доминирующего корня приводит к хорошим асимптотическим оценкам ( см. 1; гл. [21]
Далее слева от первых двух вещественных полюсов помещается нуль, за счет которого будет создано опережение по фазе. При этом следует соблюдать осторожность, потому что этот нуль не должен повлиять на желаемое положение доминирующих корней; нуль не должен находиться ближе к началу координат, чем второй полюс на действительной оси, иначе реакция системы будет определяться в основном вещественным корнем, расположенным вблизи начала координат. Так, на рис. 10.11 ( e) показано, что желаемый корень находится прямо над вторым полюсом, и мы поместим нуль z чуть левее второго вещественного полюса. [22]
Другая явная формула указана в примере 4, в) для случая арифметического распределения F с конечным числом атомов. Эта явная формула слишком сложна для практического использования, но разложение на простейшие дроби приводит к хорошим асимптотическим оценкам, если известен доминирующий корень знаменателя. Такой же метод применим в случае рациональных харак-теристических функций. [23]
При выделении доминирующих полюсов можно руководствоваться правилом, что если расстояние корня s2 от мнимой оси в 6 раз и более превышает расстояние корня Si от мнимой оси, то корень S ] является доминирующим, а корень s2 можно в первом приближении отбросить. После того, как найдено, что замкнутая нескорректированная система имеет небольшое число доминирующих нулей и полюсов, вводится предположение, что в результате коррекции число доминирующих корней сохранится, но их расположение на плоскости s с помощью корректирующих цепей будет приближено к желаемому. Эффективность сделанных допущений зависит от инженерной интуиции исследователя. Очевидно, что окончательный результат синтеза требует более точной проверки качества процессов в полученной системе. [24]
Эта аппроксимация, достаточно точная для 0 7, может служить хорошим показателем связи между частотными характеристиками системы wee показателями качества во временной области. Соотношение (9.58) относится только к системам второго порядка, но может быть использовано и применительно к системам более высокого порядка, если их переходная характеристика в основном определяется парой доминирующих корней характеристического уравнения. [25]
Остается, однако, вопрос: насколько она менее устойчива. На этот вопрос мы дадим ответ в следующем разделе применительно к системе второго порядка, а также покажем, что связь между показателями качества во временной и частотной областях является достаточно сильной только при наличии доминирующих корней. [26]
Определите вид корневого годографа при 0 К со и укажите его характерные особенности, ( б) Определите диапазоны значений К, при которых система устойчива, ( в) При каком значении К ( К 0) корни являются чисто мнимыми. Правомерно ли при больших значениях К ( К 50) использовать доминирующие корни для оценки времени установления. [27]
Первые сомножители в числителе и знаменателе, зависящие от т15 соответствуют части схемы, вносящей опережение по фазе. Вторые сомножители, зависящие от т2, обусловливают отставание по фазе. Сначала полюс и нуль фазо-опережающей части корректирующего устройства размещаются так, чтобы обеспечить желаемое положение доминирующих корней. Затем синтезируется часть корректирующего устройства, обладающая отставанием по фазе, с тем, чтобы желаемому положению корней соответствовало увеличение коэффициента ошибки в 1 / р раз. Синтез обеих частей корректирующего устройства производится согласно описанным выше процедурам. [28]
Корректирующие устройства с опережением по фазе применяются для улучшения показателей качества систем управления, в частности для увеличения запаса устойчивости по фазе. Такие устройства позволяют изменить форму корневого годографа на 5-плос-кости и обеспечить желаемое расположение корней характеристического уравнения. Если предъявляется требование к коэффициенту ошибки, то синтез предпочтительнее производить с помощью диаграммы Боде, поскольку размещение нуля и полюса корректирующего устройства на - плоскости не позволяет непосредственно указать, чему равен коэффициент усиления системы, и требуются дополнительные вычисления. Поэтому, если при синтезе задается требование к коэффициенту ошибки, решение задачи с помощью корневого годографа может представлять собой итерационный процесс. С другой стороны, метод корневого годографа хорош тогда, когда требования к качеству заданы в виде величины перерегулирования и времени установления. В этом случае можно найти эквивалентные значения параметров С, и со, и затем определить желаемое расположение доминирующих корней на - плоскости. Применение корректирующих устройств с опережением по фазе всегда расширяет полосу пропускания замкнутой системы, что может оказаться нежелательным для систем, подверженных влиянию шумов. Кроме того, корректирующие устройства с опережением по фазе не позволяют обеспечить высокую точность системы в установившемся режиме, которая определяется соответствующими коэффициентами ошибки. Для получения больших значений коэффициентов ошибки, обычно Кр и Kv, как правило применяются корректирующие устройства интегрирующего типа. Такие устройства являются предметом рассмотрения следующего раздела. [29]
Однако исходные требования будут удовлетворяться, только если эти корни являются доминирующими. За счет введения корректирующего устройства порядок системы повышается до третьего и при этом ее передаточная функция приобретает нуль. Обоснованность аппроксимации такой системы моделью второго порядка без нуля зависит от того, действительно ли два корня будут являться доминирующими. Поэтому проектировщику рекомендуется путем компьютерного моделирования получить действительную переходную характеристику и проверить, удовлетворяются ли требования к качеству системы. В данном случае моделирование системы показало, что перерегулирование составляет 46 %, а время установления ( по критерию 2 %) равно 3 8 с. Эти значения достаточно хорошо согласуются с заданными показателями 35 % и 4 с, что подтверждает обоснованность гипотезы о наличии доминирующих корней. Отличие в величине перерегулирования объясняется наличием нуля, которым нельзя пренебрегать. Таким образом, мы можем констатировать, что синтез системы с использованием доминирующих корней является достаточно хорошим методом, но пользоваться им следует с осторожностью и осмысленно. В разделе 10.10 будет сделана вторая попытка коррекции данной системы с использованием предшествующего фильтра, позволяющего исключить влияние нуля передаточной функции замкнутой системы. [30]