Cтраница 2
В случае автоколебательной системы, обладающей устойчивым стационарным состоянием, на фазовой плоскости имеется замкнутая кривая, к которой приближаются соседние фазовые траектории. Для выявления формы этой замкнутой интегральной кривой, а также характера этого приближения, рассмотрим на фазовой плоскости всю картину установления автоколебаний, от запуска генератора до установления стационарного состояния. [16]
Ни одна из них не примыкает к особой точке. Окрестность особой точки целиком заполнена замкнутыми интегральными кривыми, которые содержат внутри себя эту точку. Такая особая точка называется центром. [17]
Если этот сегмент совпадает с а, то 7 ( - т) а с а. Отсюда, в силу леммы 10.2, следует, что на торе имеется замкнутая интегральная кривая. Но это невозможно, так как число прощения [ А иррационально. Предположим теперь, что сегмент 7 - - я - - я содержит в себе я как правильную часть. Нетрудно видеть, что множество Р инвариантно относительно преобразования Т; следовательно, я сР и, значит, 7 ( mV - - % c: P. Это невозможно, так как по предположении а - наибольший сегмент. Полученное противоречие и домамиоет. [18]
Физически амплитуда колебаний не может неограниченно нарастать: она ограничивается законами сохранения. Поэтому, если принятая математическая схема адэкватно описывает физическую картину явлений, то возникновение неустойчивого фокуса должно привести к рождению предельного цикла. Одна из замкнутых интегральных кривых, существовавших на фазовой плоскости для консервативной системы, превращается при этом в предельный цикл. Раскачка колебаний приводит к тому, что амплитуда их асимптотически стремится к амплитуде автоколебания, описываемого на фазовой плоскости предельным циклом. [19]
Изучение свойств интегральных кривых на торе сводится, таким образом, к изучению свойств диффеоморфизмов окружности. Например, предположим, что диффеоморфизм окружности имеет неподвижную точку. Тогда на торе имеется замкнутая интегральная кривая. Для того чтобы интегральная кривая, проходящая через данную точку меридиана тора, была замкнутой, необходимо и достаточно, чтобы эта точка была периодической точкой диффеоморфизма, т.е. чтобы она переходила в себя после нескольких применений диффеоморфизма. [20]
Расположение интегральных кривых в окрестности особой точки л 0, у - показано на рнс. Ни одна из них не примыкает к особой точке. Окрестность особой точки целиком заполнена замкнутыми интегральными кривыми, которые содержат внутри себя эту точку. Такая особая точка называется центром. [21]
Поведение решений уравнений (10.1) во многом зависит от числа вращения. При этом весьма важную роль играет арифметическая природа этого числа. Докажем, что если уравнение (10.1) имеет замкнутую интегральную кривую на торе, то число вращения рационально. [22]
Различаем прежде-всего два класса особых точек: устойчивые и неустойчивые. Осо-бую точку называем устойчивой по Биркгофу, если существуют замкнутые интегральные кривые произвольно малого диаметра, окружающие особую точку, во всех остальных случаях точку называем неустойчивой. [23]
Они получены методом Льечара и позволяют судить о поведении всех интегральных кривых. Например видно, что кривые, которые начинаются в окрестности начала координат, спирально удаляются от него, а кривые, которые начинаются далеко от начала координат, спирально приближаются к нему. Если провести построение интегральных кривых более подробно, то можно убедиться, что они все стремятся навиться на одну замкнутую интегральную кривую, называемую предельным циклом. Этот факт указывает, что с возрастанием времени все движения системы стремятся к некоторому единственному периодическому движению. В этом и заключается наиболее характерная особенность автоколебаний. [24]
В ряде случаев это заключение может быть полезно для качественного исследования. Пусть, далее, при ее обходе против часовой стрелки вектор поля поворачивается на угол 6 - 2я в положительном направлении. Поэтому внутри замкнутой интегральной кривой Должна быть по крайней мере одна особая точка. [25]
Грубо говоря, это означает, что если интегральная кривая 1 в определенный момент проходит достаточно близко от Г, то она остается вблизи нее и в дальнейшем. Остальные типы орбитальной устойчивости определяются очевидным образом. Следующий пример иллюстрирует разницу между обычной и орбитальной устойчивостью. Пусть 1 - семейство замкнутых интегральных кривых, непрерывно зависящих от параметра Я. Это означает, что решение х ( t, К), отвечающее К, является непрерывной функцией от Я. Тогда орбитальная устойчивость является следствием этой непрерывности по X. Пусть, однако, период Т () решения х ( t, X) изменяется вместе с К, что легко осуществимо. [26]
В физической области п, р 0 состояние системы при любых начальных значениях плотностей дислокаций и границ характеризуется фазовой траекторией, стремящейся к фокусу F. При полном ее отсутствии ( р0 оо) верхнее седло 5 ( 0, / 0) смещается на бесконечность, фокус F перерождается в центр, а витки спирали-в замкнутые кривые, охватывающие его. При этом эволюция системы протекает по одной из замкнутых кривых, охватывающих центр. Включение процессов аннигиляции дислокаций, отражающееся спаданием параметра р0 оо, приводит к трансформации замкнутых интегральных кривых в витки спирали, число которых уменьшается с усилением аннигиляции. Поскольку каждый из витков отвечает провалу на зависимости Hv ( seM), то из рис. 73 следует, что в действительности спираль должна содержать небольшое число таких витков. [27]