Cтраница 2
Пусть F ( x, у, z) 0 есть уравнение поверхности S; требуется провести на этой поверхности, между двумя ее точками А ( х0, у0, z0) и В ( х, у1г г) кратчайшую кривую. [16]
На универсальной накрывающей 93 поверхности Я Q-метрика индуцирует некоторую метрику, в которой 93 - дифференциально-геометрическая поверхность. Поэтому существование геодезической в этой метрике, соединяющей любую заданную пару точек 93 и образующей кратчайшую кривую, соединяющую эти точки, может быть установлено различными способами из общих соображений. Один из этих способов состоит в том, что сначала рассматривается дубль1) [164,2] 1& для Я вдоль граничных компонент SR. Тогда, как легко видеть, универсальная накрывающая 93 поверхности 31 представляет собой полное дифференциально-геометрическое пространство в смысле Хопфа-Ринова [175] с метрикой, введенной выше. Таким образом, пару точек на 93 можно соединить геодезической в любом заданном гомотопическом классе, причем эта геодезическая будет кратчайшей кривой. Для пары точек 93 соответствующая геодезическая на 93, как легко проверить, проектируется в нужную нам кривую. [17]