Cтраница 2
Для непрерывной функции F ( х) это доказывается с помощью леммы Бореля, так же, как и в случае соответствующего соотношения (4.1.1), только с заменой длины интервала его Р - мерой. [16]
АЛ - Следовательно, каждую из точек ап можно заключить в некоторый круг f так, чтобы T ( - f) с: Д П Дд - Согласно лемме Бореля - Лебега, можно выбрать конечное число кругов f - покрывающих множество aln. Y совпадают; поэтому существует конечное число областей ( д, aty. [17]
В этом параграфе мы укажем условия, при которых теорема 1 § 13.8 может быть применена для доказательства существования оптимального правила остановки в задачах выбора без отбрасывания и с отбрасыванием, изучавшихся в § 13.5 - 13.7. Нам потребуется следующий результат, известный как лемма Бореля - Кантелли. [18]
При этом A jJ - открытые кубы, а ДЦ1 - замкнутые. По лемме Бореля существует конечное число кубов А, покрывающих F. [19]
Обозначим через S систему всех интервалов йхо. По известной лемме Бореля, если каждая точка отрезка [ - п л ] может быть покрыта некоторым интервалом из системы S, то найдется конечное число интервалов из S, целиком покрывающих этот отрезок. [20]
Больцано - Пепсрштрасса и лемма Бореля, служат истоком понятия компактного пространства. [21]
Этот результат носит название леммы Бореля - Кантелли. [22]
Так как V связно и всякая точка многообразия V лежит внутри множества, гомеоморфного евклидовой плоскости, то всегда можно любые две точки рй и PI из V соединить непрерывным путем, лежащим на V. К линии / можно применить лемму Бореля - Лебега и заключить точки этой линии в конечное число отрезков вида А /, а значит, и в конечное число областей А. [23]
Прямым следствием доказанной теоремы является тот факт, что любую риманову поверхность можно покрыть не более чем счетным множеством простых и кратных кругов этой поверхности. В самом деле, так как каждая область 8 - гомеоморфна кругу на плоскости, то известная лемма Бореля - Лебега показывает, что 5г - может быть покрыта конечным числом кругов из R. R может быть покрыта конечным числом простых и кратных кругов. [24]