Cтраница 1
Симметричное случайное блуждание возвратно в пространствах одного и двух измерений и невозвратно в пространстве трех и более измерений. [1]
Рассмотрим неограниченное симметричное случайное блуждание: коэффициенты гп и gn постоянны и равны друг другу. [2]
В симметричном случайном блуждании Бернулли ( бросание монеты) каждое из значений 1 достигается с вероятностью единица, однако математическое ожидание времени ожидания для каждого из этих событий бесконечно. В следующей теореме показано, что это свойство не является особенностью игры в монету, поскольку аналогичное утверждение справедливо для всех слу чайных блужданий, в которых и положительные, и отрицательные значения допускаются с вероятностью единица. [3]
Например, в симметричном случайном блуждании вероятность того, что частица возвратится в начало координат на п-м шаге, стремится к нулю, а в то же время несомненно, что осуществится бесконечное число таких возвращений. [4]
Мы доказали, что симметричное случайное блуждание бесконечное число раз возвращается в исходное положение. После того как произошло первое возвращение, мы проводим время в ожидании второго возвращения, и, хотя оно достоверно, ждать нам приходится в среднем столь же долго, как и первого возвращения. В этом параграфе мы ответим на вопросы о том, как с увеличением продолжительности наблюдения растет число возвращений и как тянется время ожидания ш-го возвращения. [5]
Мы установили важнейшее свойство симметричного случайного блуждания - периоды между последовательными возвращениями частицы в нуль оказываются необычайно длинными. Мы убедились в этом, используя различные подходы, и теперь нам предстоит ответить на вопрос о том, как долго частица будет в течение блуждания находиться выше или ниже оси абсцисс. [6]
В одномерном и двумерном симметричных случайных блужданиях частица с вероятностью единица рано или поздно ( а поэтому и бесконечное число раз) возвратится в свое начальное положение. [7]
Доказать, что в симметричном случайном блуждании в d - мерном пространстве частица с вероятностью I будет бесконечное число раз возвращаться в положения, которые уже были ею заняты ранее. [8]
Типичным в этом отношении является симметричное случайное блуждание, рассматривавшееся в гл. Если большое число частиц независимо совершают такие случайные блуждания, начавшиеся в нуле, то в любой момент времени приблизительно половина из них будет справа, а другая половина слева от нуля. Однако это не означает, что большинство частиц проводят половину своего времени на положительной стороне. Напротив, законы арксинуса показывают, что большинство частиц проводят непропорционально большую часть своего времени на одной стороне от нуля, и в этом смысле большинство не является представителем ансамбля. Этот случай является крайним в том смысле, что средние времена возвращения в нем бесконечны. В эргодических цепях случайные флуктуации более умеренны, но практически они будут носить тот же характер, если времена возвращения будут иметь очень большие ( или бесконечные) дисперсии. [9]
Этот и последующие параграфы посвящены собственно симметричному случайному блужданию на прямой. Основываясь только на комбинаторных свойствах путей ( только на принципе отражения), мы получим некоторые глубокие и неожиданные закономерности поведения блуждающей частицы. [10]
Это обстоятельство поясняет многие неожиданные свойства рассматриваемого симметричного случайного блуждания. [11]
Это обстоятельство поясняет многие неожиданные свойства рассматриваемого симметричного случайного блуждания. Отсюда вытекает, в частности, что, вопреки ожидаемому, типичные реализации блуждания ( S0 Sl. Sn) должны иметь не синусоидальный характер ( для которых примерно половину времени частица проводит на положительной стороне и другую половину - на отрицательной), а характер длинных затяжных волн. Точная формулировка утверждения дается так называемым законом арксинуса, к изложению которого мы сейчас и приступим. [12]
Это обстоятельство поясняет многие неожиданные свойства рассматриваемого симметричного случайного блуждания. [13]
Рассмотрим теперь с точки зрения возвратности и невозвратности симметричные случайные блуждания на плоскости и в пространстве. [14]
Теперь мы можем доказать замечательный результат о возвратности симметричного случайного блуждания на прямой. [15]