Cтраница 2
Начальному моменту времени ( N - 1) Г для этого шага соответствует состояние Хд р которое может, принимать различные значения из возможной области изменения дс. Для задачи Больца конечное значение XN свободно, поэтому, также как для хн, необходимо при выборе решения на последнем шаге учесть все допустимые значения х Обычно рассматривают множеств о дискретных значений х, заданных с определенным шагом. [16]
Отметим, что приведенное деление задач управления по виду минимизируемого функционала весьма условно. Так, задача Больца ( а тем самым, конечно, и задача Лагранжа) легко сводится к задаче Майера. [17]
Задача определения вектор-функции у ( х) е С 1 ( а, Ь), сообщающей функционалу ( 11) экстремальное значение, называется задачей Больца. Необходимые условия экстремума в задаче Больца устанавливаются в следующей теореме. [18]
Все эти замечания относились к классической задаче Лаг-ранжа, так как она встречается также в механике и родственных вопросах. Однако с незначительными изменениями их можно применить и к так называемой задаче Больца, которая является несколько более общей, так как состоит в нахождении минимума в классе кривых С, удовлетворяющих заданным ограничениям вида (1.1) и (1.2) и подходящим граничным условиям, не для интеграла 3 ( С) от нашего лагранжиана L вдоль кривой С, а для суммы 3 ( С) ( дС), где - непрерывная функция границы кривой С. На самом деле и задача Больца является весьма частной по сравнению с задачами, упомянутыми во введении, которые тоже можно формулировать для такого же класса кривых. [19]
Заметим, что необходимые условия (6.28) - (6.32) линейны и однородны относительно множителей Я0, Я - ( л:), уа, Ичз () Поэтому можно задать значение одного, не равного нулю, скалярного множителя таким образом, чтобы остальные множители определялись однозначно. Если из необходимых условий, следует, что Я0 обращается в нуль, то задача Больца вырожденная. В этом случае можно положить X0sl, так что остальные множители определяются однозначно. [20]
Все эти замечания относились к классической задаче Лаг-ранжа, так как она встречается также в механике и родственных вопросах. Однако с незначительными изменениями их можно применить и к так называемой задаче Больца, которая является несколько более общей, так как состоит в нахождении минимума в классе кривых С, удовлетворяющих заданным ограничениям вида (1.1) и (1.2) и подходящим граничным условиям, не для интеграла 3 ( С) от нашего лагранжиана L вдоль кривой С, а для суммы 3 ( С) ( дС), где - непрерывная функция границы кривой С. На самом деле и задача Больца является весьма частной по сравнению с задачами, упомянутыми во введении, которые тоже можно формулировать для такого же класса кривых. [21]
Основные типы задач, подходы к их решению и результаты были получены давно; они связаны с именами таких классиков естествознания, как Эйлер, Якоби, Вейерштрасс. Постепенно выработались некоторые типичные формы новых вариационных задач, получившие имена пионеров этой области; так появились задачи Больца, Майера и другие. Отдавая должное этим ученым, мы не будем в дальнейшем пользоваться соответствующей терминологией, так как она отражает лишь историю становления современного вариационного исчисления, но не существо дела. Эти различные по наименованиям задачи не нуждаются ни в специфических методах теоретического исследования, ни в особых подходах при разработке алгоритмов их приближенного решения. Все эти задачи естественно укладываются в сложившуюся в настоящее время форму задачи оптимального управления, теоретический анализ которой не проще и не сложнее анализа упомянутых ее частных видов. [22]
Многие проблемы теории оптимального проектирования могут быть сведены к задаче Больца. Ее основным недостатком является отсутствие общности в учете ограничений. Как было указано в предыдущих главах, имеющие смысл постановки задач оптимального проектирования, вообще говоря, содержат ограничения в виде неравенств. Целью настоящего раздела является расширение постановки задачи Больца на случай учета ограничений в виде неравенств. [23]