Cтраница 1
Нелинейная граничная задача (10.12), (10.13) на собственные значения более сложная, чем задачи § 2, так как коэффициенты уравнений имеют разрывы первого рода и заданы условия согласования. [1]
Рассмотрим еще одну нелинейную граничную задачу, несколько отличающуюся от разобранной в предыдущем разделе. Рассмотрим материальную точку массой т, на которую действует нелинейная сила, равная, например, - хе-х, где х - координата точки. В начальный мсмент частица находится в начале координат x - Q. Требуется найти начальную скорость и продолжительность движения, при следующем условии: когда частица достигнет точки х х0, ее скорость будет равна нулю. [2]
Для решения методом прогонки нелинейной граничной задачи дифференциальное уравнение предварительно должно быть линеаризовано. Этот метод пригоден только для задач с конечным интервалом интегрирования. [3]
В этой главе будет рассмотрен метод преобразования нелинейных граничных задач к задачам Коши. Впервые он был предложен Тепфером [1] в 1912 г. при попытке решить уравнение Блазиуса из теории пограничного слоя разложением решения в степенной ряд. До середины столетия не было получено никаких новых результатов, пока в 1962 г. Кламкин [2], следуя аналогичным путем, не обобщил метод на более широкий класс задач. [4]
В этой книге описываются различные методы решения таких линейных и нелинейных граничных задач, которые не поддаются аналитическому решению. Эти методы можно разделить на два класса в зависимости от того, является ли процедура решения итерационной или нет Перечислим эти методы. [5]
Далее, мы не рассматриваем также нелинейные уравнения и нелинейные граничные задачи теории функций комплексного переменного, которым за последнее время также посвящено не мало важных работ. [6]
Эта книга ставит своей целью подробное описание различных методов решения линейных и нелинейных граничных задач. Отличие граничной задачи от задачи Коши ( задачи с начальными условиями) состоит в том, что для первой решение дифференциального уравнения, найденное на некотором интервале, должно удовлетворять граничным, условиям, заданным в двух или нескольких точках. [7]
Равенство ( i), по существу, утверждает существование решения определенной нелинейной граничной задачи, в то время как ( ii) дает его единственность с точностью до постоянных. [8]
Метод квазилинеаризации, описанный в § 5.4, позволяет не только линеаризовать нелинейную граничную задачу, но и получить последовательность функций, которые квадратично сходятся к решению исходного уравнения. [9]
Прежде чем приступить к нелинейным дифференциальным уравнениям, в § 10.2 дается интересное приложение к решению нелинейных алгебраических и функциональных уравнений. Основная идея дифференцирования по параметру излагается в § 10.3. В качестве примеров рассматриваются четыре нелинейные граничные задачи. [10]
Метод интегральных уравнений, в общих чертах описанный в этой главе, состоит из двух основных шагов: перехода от граничной задачи к интегральному уравнению и численного решения полученного интегрального уравнения. Для линейной граничной задачи ответ находится однократным выполнением этих шагов, тогда как для нелинейной граничной задачи необходимы итерации. [11]
Граничная задача, поставленная Вейбелом [31] и Трешем [32], первоначально была связана с исследованием обжатия плазменного шнура давлением излучения. Из-за жестких ограничений ее решение не представляет особого физического интереса Значительный интерес, проявленный к ней в последние годы специалистами по численным методам ( см. работы [33 - 38]), в основном объясняется тем, что она является хорошим тестом для проверки методов решения неустойчивых нелинейных граничных задач. [12]
Результаты, приведенные в этой книге, основаны на источниках, указанных в списках литературы в конце каждой главы, и в монографиях 15 - 23 ] по данному предмету. Однако ни один из этих источников не охватывает всех описанных здесь методов полностью, в частности нередко упускают из виду неитерационные методы. Поскольку нелинейные граничные задачи довольно часто встречаются в науке и технике, потребность в курсе, в котором подробно освещаются вычисления, проводимые в различных методах, достаточно велика, и мы надеемся, что настоящая книга окажется весьма полезной. [13]
Одним из наиболее широко используемых методов решения граничных задач является, по-видимому, конечно-разностный ме-тод. Этот дискретный метод заключается в переходе от системы обыкновенных дифференциальных уравнений к конечной системе алгебраических уравнений путем замены производных зависимых переменных их конечно-разностным представлением и дальнейшем решении полученных алгебраических уравнений; при этом получается приближенное решение задачи в узловых точках. Для линейных граничных задач соответствующие алгебраические уравнения также линейны, и решение можно найти за один шаг. При решении нелинейных граничных задач требуются итерации, так как теперь задача должна быть линеаризована. Одним из распространенных методов является линеаризация дифференциального уравнения при помощи методов квазилинеаризации до замены производных их конечно-разностным представлением. В другом подходе производные предварительно заменяются их конечно-разностным представлением, а затем полученные нелинейные алгебраические уравнения линеаризуются методом Ньютона. Оба подхода подробно рассматриваются в гл. [14]
В методе интегральных уравнений граничная задача заменяется интегральным уравнением, которое решается с помощью квадратурных формул. Вывод интегрального уравнения, эквивалентного граничной задаче, в общем случае включает определение функции Грина. Для решения нелинейных граничных задач требуется итерационная процедура, причем линеаризуется либо исходная граничная задача, либо нелинейное интегральное уравнение. Метод интегральных уравнений описывается в гл. [15]