Cтраница 3
Рассмотрим использование метода подстановок в сочетании с электрическим моделированием. Такой подход к решению нелинейных задач теплопроводности дает возможность уменьшить трудоемкость решения, проводимого методом итераций на сетках переменной структуры, ввиду сокращения числа перенастраивающихся в процессе решения элементов сетки и получать решение на моделях постоянной структуры. То обстоятельство, что применение подстановок требует обратного перехода от моделируемой функции к температуре, не является существенным, так как указанный переход легко осуществляется одним из способов, о которых речь будет идти ниже. [31]
Для решения нелинейных задач этот метод используется недостаточно широко, хотя в сочетании с аналоговыми машинами ( резистивно-емкостные сетки и структурные модели) он представляется достаточно перспективным. Результаты соответствующих разработок, позволяющих решать нелинейные задачи теплопроводности методом прямых на аналоговых машинах, изложены в работах [23, 33, 161, 186, 189, 236, 241, 254, 271, 272], а также в гл. [32]
Элементы электронного моделирования могут быть также использованы для создания нелинейной емкости ( гл. X), что дает возможность решать нелинейную задачу теплопроводности непрерывно во времени с учетом зависимости всех теплофизических характеристик от температуры, включая и коэффициент температуропроводности. Применение указанных активных элементов дает возможность провести модернизацию имеющихся в эксплуатации емкостно-резистив-ных моделей, не приспособленных к решению нелинейных задач, и использовать их при решении задач теплопроводности в нелинейной постановке. [33]
Вместе с тем опыт работы с моделирующими аналоговыми средствами самых различных типов и специальные исследования, проведенные с целью расширения возможностей существующих аналоговых машин, позволяют сделать вывод о том, что любая аналоговая модель может быть использована для решения нелинейных задач, если провести целенаправленное преобразование математической модели процесса и дополнить модель-аналог соответствующими устройствами. Поэтому одной из задач настоящей работы является освещение методологии решения нелинейных задач теплопроводности с помощью широко распространенных и достаточно простых традиционных аналоговых средств, использование которых в силу их структуры ограничено обычно решением линейных задач. [34]
А, по которому устанавливаем соответствующий сигнал, управляющий характеристикой нелинейного элемента. Очевидно также, что в комбинации с методом Либмана для решения нелинейных задач теплопроводности на моделях из электропроводной бумаги может быть успешно применен метод линеаризации. В этом случае в качестве граничных сопротивлений можно применить обычные переменные резисторы, которые могут регулироваться на каждом шаге во времени. [35]
Имея целый ряд преимуществ, о которых речь шла выше, специальные аналитические методы решения нелинейных задач, к сожалению, могут быть применены лишь в отдельных, сравнительно простых, в основном, одномерных случаях. Что касается численных методов, то, хотя их возможности гораздо шире, при решении нелинейных задач теплопроводности для тел сложной конфигурации эти методы оказываются достаточно громоздкими и трудоемкими. Наиболее приемлемыми для решения задач теплопроводности являются методы математического моделирования на аналоговых и гибридных машинах, однако и эти методы не вполне удовлетворяют требованиям, предъявляемым к методам решения нелинейных задач, и нуждаются в существенном усовершенствовании, включая разработку специализированных моделирующих средств. [36]
Отметим, что использование рассмотренных аналитических методов также оказывается ограниченным рамками простейших задач. Возможности метода сеток, реализованного на ЭЦВМ, АВМ или ГВС, гораздо шире, и он с успехом используется при решении нелинейных задач теплопроводности. [37]
В работе [120] дана всесторонняя классификация методов решения нелинейных задач, приведены примеры применения того или иного метода, а также качественные и количественные показатели, которые помогают более или менее объективно провести выбор метода для исследования конкретной задачи. Поэтому, не останавливаясь на аналитических и численных методах, реализуемых на ЭЦВМ, кратко охарактеризуем возможности аналоговых вычислительных средств в плане решения нелинейных задач теплопроводности. [38]
Развитие цифровой вычислительной техники сделало возможным ее использование при решении задач теории поля, однако в случае наиболее сложных объемных и нелинейных задач ЭЦВМ пока не могут конкурировать с моделями-аналогами. Гибридные модели, представляющие сочетание вычислительных устройств различных по своей природе и принципу действия, в том числе и ГВС, включающие ЭЦВМ и АВМ, являются, по-видимому, наиболее перспективными для решения нелинейных задач теплопроводности. [39]
Эта монография посвящена изучению вопросов разрешимости основных краевых задач для вырождающихся и неравномерно эллиптических и параболических уравнений второго порядка и исследованию дифференциальных и некоторых качественных свойств решений таких уравнений. К квазилинейным вырождающимся или неравномерно эллиптическим и параболическим уравнениям приводит изучение различных вопросов вариационного исчисления, дифференциальной геометрии и механики сплошных сред. К таким уравнениям приводят, например, некоторые нелинейные задачи теплопроводности, диффузии, фильтрации, теории капиллярности, теории упругости и др. К неравномерно эллиптическим уравнениям относятся уравнения, определяющие среднюю кривизну гиперповерх-ности в евклидовом и римановом пространствах, в том числе уравнение минимальных поверхностей. Уравнения Эйлера для многих вариационных задач оказываются квазилинейными вырождающимися или неравномерно эллиптическими. [40]
В современной теории хорошо разработаны точные аналитические методы решения линейных задач теплопроводности, базирующиеся на дифференциальных уравнениях теплопроводности параболического типа. Для решения таких уравнений широко применяются методы интегральных преобразований, операционный метод, методы собственных функций, метод источников, конформные преобразования. Проведено много исследовании, посвященных разработке методов решения нелинейных задач теплопроводности, в которых коэффициенты дифференциальных уравнений зависят от температуры, а источники тепла и граничные условия являются нелинейными функциями температуры. [41]
Методы, при которых изменяются параметры модели, могут быть реализованы применением особых искусственных приемов, изменяющих проводимость этих сред. Понятно, что эти методы не могут быть достаточно эффективными в случае, когда решается нелинейная задача теплопроводности, нелинейность которой определяется зависимостью X ( Г), так как в этом случае проводимость среды должна изменяться в зависимости от потенциала, изменяющегося от итерации к итерации. Естественно, что ни перфорирование, ни нанесение краски ( которую в этом случае надо то наносить, то снимать), ни наклеивание дополнительных слоев бумаги после каждого приближения не могут быть признаны в качестве рационального приема для реализации решения нелинейной задачи. [42]
Гибридные модели этого типа для решения задач теплопроводности представляют интерес, так как они с успехом могут применяться не только для моделирования уравнения Фурье или уравнения Пуассона, когда исследуется температурное поле при наличии источников тепла, но и для моделирования задач с нелинейными изменяющимися во времени граничными условиями. Это приобретает особый смысл, если учесть, что нелинейность в граничных условиях бывает обусловлена как физическим смыслом ( например, лучистый теплообмен), так и последствием линеаризации уравнения теплопроводности с помощью подстановок. С-сетки ( для нестационарной задачи) в сочетании с блоками электронного моделирования - могут решать нелинейные задачи теплопроводности с не-линейностями I рода, переведенными в нелинейности II рода. При этом количество активных элементов значительно сокращается, так как их функцией является лишь реализация нелинейных граничных условий. [43]
Обычно этот критерий возникает в форме неполного дифференциала, а это означает, что не существует термодинамического потенциала, который может быть в классическом смысле связан с этим критерием. Однако он может быть использован для обобщения понятия термодинамический потенциал - это так называемый локальный потенциал ( гл. Главная особенность метода локального потенциала состоит в том, что каждая неизвестная функция ( например, распределение температуры в нелинейной задаче теплопроводности) появляется дважды: один раз - как среднее значение и другой раз - как флуктуирующая величина. Это приводит к обобщению классической вариационной техники на несамосопряженные задачи. Локальный потенциал достигает минимума ( в функциональном смысле), когда среднее значение совпадает с наиболее вероятным. [44]
При оценке эффективности вычислительных средств важными являются: простота устройства и эксплуатации, надежность, стоимость, вес, габариты, потребляемая мощность, стандартность и унифицированность узлов, необходимая площадь для размещения, эксплуатационные расходы. К этому могут быть добавлены такие факторы, как квалификация обслуживающего персонала, время решения данной задачи на данной машине и некоторые другие. Хотя автор настоящей работы не ставил перед собой задачу выработать какие-либо дополнительные критерии для подобных оценок и создать методы расчета эффективности, тем не менее он надеется, что рассмотренные в книге методы и средства, их применение для решения конкретных задач, а также сопоставление результатов решения с результатами, полученными с помощью других методов и средств, помогут в какой-то степени читателю в выборе эффективных путей для решения нелинейных задач теплопроводности. [45]