Cтраница 2
Итак, если считать, что в (13.1.6) и (13.1.10) нижние пределы интегрирования а, а2 постоянны, то величины, отмеченные верхним значком (), составляют решение полной краевой задачи безмоментной теории для загруженной поверхностной нагрузкой консольной оболочки нулевой кривизны, у которой край аг - а2 жестко заделан, а край ах а1 свободен и не загружен краевыми силами. [16]
Таким образом, если считать, что в (13.1.8) и (13.1.11) нижние пределы интегрирования не зависят от 2, то определяемые ими величины, отмеченные верхним значком ( б), составляют решение полной краевой задачи безмоментной теории для консольной оболочки, у которой поперечное сечение а1 а заделано, а поперечное сечение ах а2 свободно и загружено краевыми силами. [17]
В теории изгибаний показано, что незамкнутая поверхность со свободными краями не является жесткой. Поэтому согласно теореме о возможных изгибаниях соответствующая полная краевая задача безмоментной теории не должна, вообще говоря, иметь решения. Это подтвердилось на примере замкнутой оболочки нулевой кривизны, рассмотренной в § 15.24. При этом выяснилось, что в данном случае теорема о возможных изгибаниях полностью выполняется. [18]
Если поверхность ( любого знака кривизны) не имеет бесконечно удаленных точек, ограничена только неасимптотическими краями и во всех точках этих краев она лишена свободы смещения в обоих тангенциальных направлениях, то такая поверхность не может изгибаться. Отсюда по теореме о возможных изгибаниях должно следовать, что полная краевая задача безмоментной теории при граничных условиях вида (17.34.1) на всех краях оболочки, не имеющей бесконечно удаленных точек, должна иметь решение ( единственное) при любой, достаточно гладкой, нагрузке, если ни один из краев оболочки не касается асимптотических линий срединной поверхности. Справедливость этого утверждения доказана в § 17.34 для сферического купола с плоским краем, а в § 15.23 - для произвольной замкнутой оболочки нулевой кривизны с двумя неасимптотическими краями. [19]
Пусть для некоторой оболочки ( не обязательно нулевой кривизны) поставлена полная краевая задача безмементной теории, заключающаяся в том, что на каждом краю сформулированы по два идеализированных тангенциальных граничных условия, среди которых, вообще говоря, будет находиться и некоторое число геометрических условий. Тогда можно ввести важное для дальнейшего понятие о возможных изгибаниях, подразумевая под этим такие изгибания срединной поверхности, которые удовлетворяют всем однородным тангенциальным геометрическим граничным условиям данной полной краевой задачи безмоментной теории. В число тангенциальных граничных условий задачи могут и не входить геометрические граничные условия. Тогда возможными надо считать все изгибания, которые имеет срединная поверхность оболочки, когда ее края ничем не стеснены. [20]
Рассмотрим теперь случай, когда оболочка имеет два края YD YJ. YI тангенциальные закрепления отсутствуют, а край yt заделан от обоих тангенциальных перемещений. Тогда условия существования решений полной краевой задачи безмоментной теории могут оказаться довольно Неопределенными, как вытекает из нижеследующего примера. [21]
К двухкратному решению задачи Коши сводится вопрос и в случае, когда кривизна оболочки неположительна. Если кривизна равна нулю, то рассуждения становятся элементарными. Они проведены в § § 15.17 - 15.19 и показали, что для оболочки нулевой кривизны обсуждаемая здесь полная краевая задача безмоментной теории всегда имеет решение, конечно, если края - неасимптотические. Если кривизна оболочки отрицательна, то обе упоминавшиеся выше задачи Коши должны решаться для систем гиперболического типа. Это значит, что их решение будет существовать в двухсвязной области при любой, достаточно гладкой нагрузке. Исключение может иметь место только тогда, когда в области G будут содержаться некоторые особые точки срединной поверхности, например, точки, через которые проходят две асимптотические линии одного семейства. [22]
Если один из краев такой оболочки закреплен от тангенциальных смещений, то независимо от того, имеются ли другие края, и от того, как они закреплены, ее срединная поверхность не может иметь изгибаний. Он относится к любым поверхностям положительной кривизны и очевиден с точки зрения теории дифференциальных уравнений, так как построение изгибаний при таком закреплении края сводится к однородной задаче Коши. Из сказанного вытекает, что по теореме о возможных изгибаниях ( § 15.21) решение полной краевой задачи безмоментной теории для оболочки, рассмотренной в предыдущем параграфе ( один край свободен от тангенциальных закреплений, а второй - заделан в обоих тангенциальных направлениях), должно существовать и быть единственным. [23]
Если в каждой точке края ставится одно тангенциальное статическое граничное условие, заключающееся в требовании, чтобы тангенциальная краевая сила / / имела заданное значение, и одно геометрическое граничное условие, заключающееся в требовании, чтобы тангенциальное смещение Vn имело заданное значение, то полная безмоментная задача, в сущности, представляет собой соединение статической безмоментной задачи и геометрической безмоментной задачи. Действительно, в этом случае можно сначала найти Т1, S, Tt, интегрируя статические безмоментные уравнения совместно со статическим граничным условием, а затем выразить ( алгебраически) EJ, ш, еа через 7, S, Т2, при помощи уравнений состояний, и, наконец, найти перемещения uI, u2, w, интегрируя геометрические безмоментные уравнения совместно с геометрическим граничным условием. Вместе с тем, легко указать на случаи, когда такое разделение станет невозможным. Это будет, например, в том случае, когда оба граничных условия - геометрические. Тогда целесообразно говорить о полной краевой Задаче безмоментной теории, не расчленяя ее на статическую и геометрическую задачи. [24]