Cтраница 2
В коммутативных областях главных левых идеалов, а также в коммутативных UF-областях два атома являются копросто перестановочными тогда и только тогда, когда они неассоциированы. Отсюда следует, что для этих колец множества Рс представляются в виде объединения непересекающихся конечных цепей. Например, 720 24 - 32 - 5 в кольце целых чисел Z, так что Р720 состоит из трех цепей длины 3, 1 и 0 соответственно. В противоположность этому в некоммутативном случае в качестве Рс может фигурировать произвольное частично упорядоченное множество. [16]
Напомним, что коммутативная область целостности называется областью с однозначным разложением ( UF-областью), если она атомна и представление любого ее элемента в виде произведения атомов единственно с точностью до порядка членов и обратимых сомножителей. Это определение показывает, что однозначная разложимость является свойством мультипликативной полугруппы кольца, так что имеет смысл сформулировать предыдущее определение в терминах полугрупп. [17]
ТЕОРЕМА 4.2. Любое полное отрицательно фильтрованное кольцо с 2-членным инверсным слабым алгоритмом является жесткой UF-областью. [18]
Легко проверить, что любое правое DV-кольцо является жесткой UF-областыо, и обратно, жесткая UF-область является правым DV-кольцом в том и только том случае, когда любые ее два атома ассоциированы справа. [19]
Показать, что прямой предел жестких UF-областей является жесткой областью, но не обязательно UF-областью. [20]
Для оправдания этого определения мы должны доказать, что в случае коммутативных колец оно превращается в обычное определение UF-области. Для этого достаточно показать, что в коммутативном случае подобные элементы являются ассоциированными. Действительно, если кольцо R коммутативно, то aR есть аннулятор модуля R / aR, так что из изоморфизма R / aR R / afR следует, что aR a R и, таким образом, элементы а и а ассоциированы. [21]
Учитывая эти соглашения, жесткую UF-область можно охарактеризовать как область целостности, в которой каждый элемент обладает единственным атомным разложением. В произвольной UF-области атомные разложения элементов не будут, конечно, единственными, но порядок атомов нельзя менять произвольно. Сравним теперь различные разложения некоторого элемента 2 - Р1 - кольца. [22]
Коммутативная полугруппа с сокращением 5 называется UF-полугруппой, если ассоциированная, с ней коническая фактор-полугруппа 8ц является свободной коммутативной полугруппой. Понятно, коммутативное кольцо является UF-областью тогда и только тогда, когда его ненулевые элементы образуют UF-полу-группу относительно умножения. Поэтому изучение разложений элементов коммутативных UF-областей полностью сводится к UF-полугруппам. [23]
Кратко изложив ( в § 3.1) известные понятия и утверждения, касающиеся коммутативных областей с однозначным разложением, мы переходим к изучению более широкого класса колец, определяемого в терминах решетки делителей произвольного элемента кольца. Возникающее в результате понятие некоммутативной области с однозначным разложением ( UF-области) является наиболее интересным в случае 2 - Р1 - колец. В остальных параграфах мы рассматриваем различные аспекты свойств элементов колец, связанных с разложением, включая понятие строгой UF-области, которое является некоммутативным аналогом понятия кольца дискретного нормирования. [24]
Если Т - подполугруппа из R, порожденная простыми элементами, и локализация RT является UF - областью, то и R есть UF-область. [25]
Коммутативная полугруппа с сокращением 5 называется UF-полугруппой, если ассоциированная, с ней коническая фактор-полугруппа 8ц является свободной коммутативной полугруппой. Понятно, коммутативное кольцо является UF-областью тогда и только тогда, когда его ненулевые элементы образуют UF-полу-группу относительно умножения. Поэтому изучение разложений элементов коммутативных UF-областей полностью сводится к UF-полугруппам. [26]
Кратко изложив ( в § 3.1) известные понятия и утверждения, касающиеся коммутативных областей с однозначным разложением, мы переходим к изучению более широкого класса колец, определяемого в терминах решетки делителей произвольного элемента кольца. Возникающее в результате понятие некоммутативной области с однозначным разложением ( UF-области) является наиболее интересным в случае 2 - Р1 - колец. В остальных параграфах мы рассматриваем различные аспекты свойств элементов колец, связанных с разложением, включая понятие строгой UF-области, которое является некоммутативным аналогом понятия кольца дискретного нормирования. [27]
Леви [03] показал, что соответствующие множители предыдущего разложения являются эквивалентными операторами в определенном Пуанкаре смысле; в дальнейшем оказалось, что это свойство соответствует понятию подобия. Обобщение этих результатов на произвольные области главных идеалов было сделано Асано [38]; результаты этих и многих других работ были суммированы в гл. В этой работе было показано, что свободные алгебры являются UF-областями. Жесткие UF-области также были определены в этой работе в связи с примером свободного кольца степенных рядов. [28]
Леви [03] показал, что соответствующие множители предыдущего разложения являются эквивалентными операторами в определенном Пуанкаре смысле; в дальнейшем оказалось, что это свойство соответствует понятию подобия. Обобщение этих результатов на произвольные области главных идеалов было сделано Асано [38]; результаты этих и многих других работ были суммированы в гл. В этой работе было показано, что свободные алгебры являются UF-областями. Жесткие UF-области также были определены в этой работе в связи с примером свободного кольца степенных рядов. [29]