Cтраница 1
Интуиционистский анализ отличается от интуиционистской арифметики, прежде всего, наличием новых объектов исследования. Кроме натуральных чисел, в анализе появляются так называемые последовательности выбора ( в другой терминологии - свободно становящиеся последовательности) - объекты исследования, не имеющие непосредственных аналогов в конструктивной или классической математике. [1]
Примеры использования ВК-структур для построения моделей интуиционистского анализа приводятся в четвертом параграфе. Описывается модель варианта теории беззаконных последовательностей Крайзела и модель варианта анализа в стиле Клини и Весли. Однако представление модели в форме ВК-структуры позволяет дать ей ясную интуитивную интерпретацию, что сильно облегчает установление истинности различных формул в модели. [2]
В этом разделе мы приведем и обсудим несколько просто формулируемых примеров моделей для теорий интуиционистского анализа. [3]
Как показано в [1], теория CS достаточна, чтобы вывести все основные факты интуиционистского анализа. [4]
Имеется несколько систем конструктивной теории функций; некоторые из них, как, например, интуиционистский анализ, основаны на новой логике, другие изучают конструктивные объекты, например, рекурсивные вещественные числа, методами классического анализа, а третьи пытаются выразить с помощью функционалов часть классического анализа в виде формул со свободными переменными. Система, описанная в этой книге, отличается от всех этих систем. Она основана на примитивно рекурсивной арифметике, и в ней делается попытка построить теорию функций в поле рациональны чисел, напоминающую в одних отношениях классический анализ, а в других - интуиционистский анализ. Все доказательства в рекурсивном анализе формализуемы в исчислении равенств) - системе рекурсивной арифметики, описанной в моей книге Рекурсивная теория чисел, но настоящую работу можно читать без детального знания рекурсивной арифметики. [5]
Соответствие между этими двумя подходами достигается в классическом анализе при помощи канторовско-го понятия континуума. Отметим, что интуиционистский анализ, конструктивный анализ и нестандартный анализ, по существу, не находят еще приложений в физике из-за отсутствия подходящих геометрических представлений, хотя в идейном отношении эти концепции близки к образу мыслей прикладной математики. Переход от поля в физическом смысле к математическому полю происходит при помощи понятия функции области - и процесса локализации. Находится плотность поля / lim ( A / 7AD) при условии, что область v стягивается в точку. Обратно, F находится как интеграл от fdv по соответствующей области. Плотность f, которая здесь возникает, может быть величиной скалярной, векторной, тензорной или иметь иную, более сложную природу. [6]
Эти принципы задают формальную теорию с. Клини, теорию, достаточную для получения в ней всех основных теорем интуиционистского анализа, включая теорему о веере, равномерную непрерывность действительных функций и др. Следует иметь в виду, что эта теория отражает лишь один вид интуиционистских последовательностей, вид, особенно пригодный для построения интуиционистского анализа. [7]
III и IX, показано, что в теории FIM могут быть выведены все основные факты интуиционистского анализа Брауэра, включая теорему о веере и теорему о равномерной непрерывности вещественных функций. [8]
Эти принципы задают формальную теорию с. Клини, теорию, достаточную для получения в ней всех основных теорем интуиционистского анализа, включая теорему о веере, равномерную непрерывность действительных функций и др. Следует иметь в виду, что эта теория отражает лишь один вид интуиционистских последовательностей, вид, особенно пригодный для построения интуиционистского анализа. [9]
Эти принципы задают формальную теорию с. Клини, теорию, достаточную для получения в ней всех основных теорем интуиционистского анализа, включая теорему о веере, равномерную непрерывность действительных функций и др. Следует иметь в виду, что эта теория отражает лишь один вид интуиционистских последовательностей, вид, особенно пригодный для построения интуиционистского анализа. [10]
Позже были введены формальные системы интуиционистского анализа. [11]
Позже были введены формальные системы интуиционистского анализа ( см., напр. Многие исследования по интуиционистской логике и математике имеют дело с формальными системами. [12]
Основная особенность М по сравнению с FIM - замена принципа ВС-С теории FIM на более слабый принцип BC-N и, конечно, добавление схемы Крипке. Полученная теория М и даже М - очень полно отражают все основные особенности интуиционистского анализа Брауэра. Ослабление принципа ВС-С не мешает провести все существенные теоремы анализа ( так как для этого достаточна схема BC-N, см. Клини и Весли [1], с. Крипке позволяет воспроизвести и все исторические аргументы Брауэра. [13]
Имеется несколько систем конструктивной теории функций; некоторые из них, как, например, интуиционистский анализ, основаны на новой логике, другие изучают конструктивные объекты, например, рекурсивные вещественные числа, методами классического анализа, а третьи пытаются выразить с помощью функционалов часть классического анализа в виде формул со свободными переменными. Система, описанная в этой книге, отличается от всех этих систем. Она основана на примитивно рекурсивной арифметике, и в ней делается попытка построить теорию функций в поле рациональны чисел, напоминающую в одних отношениях классический анализ, а в других - интуиционистский анализ. Все доказательства в рекурсивном анализе формализуемы в исчислении равенств) - системе рекурсивной арифметики, описанной в моей книге Рекурсивная теория чисел, но настоящую работу можно читать без детального знания рекурсивной арифметики. [14]
Наш вывод состоит в том, что не существует одного выделенного конструктивного или интуиционистского понимания логических связок. Скорее, следует говорить о целом спектре семантик с различными оттенками эффективности. Классическая теория FA и конструктивная НА ЕСТ - f M - всего лишь разные полюсы в этом спектре. Мы значительно укрепимся в этой мысли, когда перейдем к изучению теорий интуиционистского анализа, где возможности различных пониманий еще гораздо разнообразнее. [15]