Cтраница 3
Чтобы раскрыть этот процесс преобразования идей, я отобрал ряд моих популярных статей, охватывающих промежуток времени в 30 лет, который лежит между годами выхода в свет вышеназванных двух моих популярных книг, и объединил их предисловием к первой работе и послесловием - ко второй. Некоторые из них имеют лишь косвенное отношение к главной теме сборника - это статья о минимальных принципах в физике, несколько статей, излагающих работы Эйнштейна, и статья, содержащая более чем скромную попытку автобиографии. Все остальные статьи рассматривают философские основы физики и революционные преобразования, которые происходили в ней на протяжении моей научной жизни. [31]
Движения, благодаря которым в силу специальных допущений эти уравнения принимают упрощенную форму. Все эти приемы могут быть рассматриваемы с одной и той же точки зрения, если исходить из минимальных принципов. Вышеупомянутые вспомогательные допущения представляют собою в этом случае не что иное как упрощенную формулировку выражения, к которому приводится работа деформации, в величинах, определяющих геометрическую форму деформированного тела; в каждом отдельном случае основные уравнения получаются при этом подстановкой в формулировку принципа минимума упрощенного выражения для работы деформации. С этой точки зрения мы и подвергаем здесь разбору важнейшие относящиеся сюда случаи. [32]
Ведь совершенно очевидно, что если бы L было плоским зеркалом, то луч света прошел бы от точки Рг к зеркалу и отразился бы от него в точку Р2, что как раз совпадает с нашим решением. Это решение идентично, таким образом, с оптическим законом отражения, только мы его выразили здесь в виде минимального принципа: луч света избирает точку преломления так, что весь путь PiQ QP2 является наикратчайшим. Здесь у меня механическая модель, которая все это показывает наглядно. [33]
Во многих случаях является целесообразным заменить декартовы координаты криволинейными; например, при наличии осевой и шаровой симметрии - цилиндрические и сферические координаты являются наиболее подходящими при решении задач. Чтобы провести наиболее простым образом преобразование основных уравнений, выразим сначала составляющие тензора деформации непосредственно в криволинейных координатах ( ограничиваясь случаем ортогональности их); далее, при помощи минимальных принципов сформулируем условия равновесия. [34]
Сложная задача раскрытия природы внешнего трения требует четкой и обоснованной ее постановки. Для решения этой задачи необходимо разграничить процессы нормального внешнего трения и сопротивления различным видам повреждаемости поверхностей контакта, рассмотреть природу, причины и механизм трения с позиций фундаментальных представлений о трансформации энергии внешних силовых воздействий в энергию внутренних процессов с анализом энергетических соотношений и минимальных принципов, с позиций современных представлений физики твердого тела ( теории дислокаций) о напряженно-деформируемом состоянии, о физико-химических явлениях адгезии, адсорбции и диффузии, а также учитывая положительный опыт практики. [35]
С тех пор мир рассматривался как механизм, управляемый строгими детерминистическими законами. Коль скоро задано начальное состояние, все дальнейшее развитие может быть предсказано при помощи дифференциальных уравнений механики. Минимальные принципы связаны не с экономностью природы, а, по выражению Маха, с человеческой экономией мышления: интеграл действия сводит всю систему дифференциальных уравнений к одному простому выражению. [36]
Действительно, он справедлив лишь постольку, поскольку на контуре интегрирования можно было считать потенциал постоянным. В электролитической ячейке потенциал на поверхности электродов постоянен только при отсутствии химического перенапряжения. Найдем новый минимальный принцип, который был бы справедлив в условиях электролитической ячейки. Он должен приводить к сформулированной выше краевой задаче с граничными условиями типа ( 49 3) на электродах. [37]
Рассуждения, которые привели нас к принципу Гамильтона, могут быть проведены и в обратном порядке. Отсюда видно, что принцип Гамильтона и принцип Даламбера математически эквивалентны и их возможности одинаковы до тех пор, пока приложенные силы, действующие на механическую систему, являются моногенными. В случае полигенных сил преобразование принципа Даламбера в минимальный принцип, или, точнее говоря, в принцип стационарного значения, становится невозможным. [38]
Эти вариационные и минимальные принципы имеют большое значение прежде всего потому, что они лежат в основе важных приближенных и численных методов решения. К ним относятся, например, принцип Хеллинджера - Рейсснера, Ху - Вашицу, Прагера - Буфлера, которые могут применяться как для линейно -, так и нелинейно-упругих задач. С другой стороны, из обобщенных принципов получаются в качестве частных случаев классические минимальные принципы теории упругости, обсуждаемые в последующих разделах. [39]
Метод Годдарда и метод Оберта суть приближенные методы решения задачи о программировании изменения реактивной силы, при котором достигается максимальная высота вертикального подъема ракеты в однородном поле тяготения. Годдард верно формулировал проблему, но не дал ее решения; Оберт исходил в своих рассуждениях из некоторого минимального принципа, не вытекающего из законов механического движения. [40]
Гаусса входят ускорения, в то время как в принцип наименьшего действия - одни лишь скорости. Вследствие этого принцип Гаусса имеет меньшее значение. С другой стороны, он с одинаковым успехом может использоваться как при голономных связях, так и при неголо-номных, не теряя свойства минимальности; забегая вперед, укажем, что принцип наименьшего действия не может быть сформулирован в виде минимального принципа при неголо-номных связях или непотенциальных силах. [41]
Несколько в стороне от главного направления лежит принцип наименьшего принуждения, установленный выдающимся математиком Гауссом. В этом принципе не используется в качестве минимизируемой функции интеграл по времени. Гаусс вводит для произвольного момента времени определенную положительную величину, называемую принуждением, и минимизацией этой величины получает ускорения, считая скорости и координаты в этот момент заданными. Принцип Гаусса является истинным минимальным принципом, а не просто принципом стационарного значения. Однако он не обладает аналитическими преимуществами других принципов, поскольку принуждение включает в себя, помимо позиционных координат и скоростей, еще и ускорения. [42]
Доказательство того, что циклоида является брахистохроной, в свое время было крупным достижением математики. Другой представитель рода Бернулли, Даниил Бернулли, разработал в начале XVIII века минимальный принцип статики, который мы уже рассматривали, применяя его к анализу цепной линии и эластики. [43]
Статуя в Геттингене изображает Гаусса и его младшего коллегу, физика Вильгельма Вебера, работающими над изобретением электрического телеграфа. Это относится к 1833 - 1834 гг., когда Гаусс начал интересоваться физикой. Это было началом теории потенциала как отдельной ветви математики ( работа Грина 1828 г. практически не была известна в это время) с использованием интегралов по объему, причем были введены некоторые минимальные принципы, в которых мы можем распознать принцип Дирихле. Для Гаусса существование минимума было очевидным; позже это стало предметом дискуссии, а окончательное решение было дано Гильбертом. [44]
Однако для справедливости нашего вывода требуется, чтобы вдоль всей траектории Т волновые поверхности были хорошо определенными, однозначными поверхностями с определенными нормалями. В этом случае волновая поверхность, которой принадлежит точка М, вырождается в точку. В оптических инструментах каждому точечному источнику световых волн М должно соответствовать изображение М, где волновые поверхности вырождаются в точку. Наше заключение о настоящем относительном минимуме справедливо лишь до точки М, но не может быть распространено на область за точку М, так как в этом случае близкие траектории проходят через область, где они не пересекают никаких волновых поверхностей. Тогда величина 0 перестает быть действительной, а неравенство t t становится иллюзорным. После того как мы проходим через кинетический фокус, принцип наименьшего действия перестает быть минимальным принципом. [45]