Cтраница 3
При изучении свойств вектор-функций дискретного аргумента ( последовательностей векторов гильбертова пространства) существенную роль играла матрица Грама последовательности. Аналогичную роль при изучении вектор-функции непрерывного аргумента играет непрерывный аналог матрицы Грама, который мы называем функцией Грама. Определим ее следующим образом. [31]
Класс игр на единичном квадрате является одним из простейших непрерывных аналогов конечных матричных игр. В этих играх тройка ( Аг, Л2, F) состоит из функции платы F ( х, у), где каждая из переменных имеет областью значений замкнутый интервал [ О, 1 ], и пространств стратегий Лх и Ла, состоящих из всех функций распределения v ( я) и ц ( у) соответственно. [32]
Этот метод по существу приведен в [11-13]; он состоит из двух основных частей. Вторая - это техника конических разрешений и топологических порядковых комплексов, являющаяся непрерывным аналогом комбинаторной формулы включений-исключений и оказавшаяся очень эффективной при вычислении таких групп гомологии. [33]
Существуют методы, в которых зависимость правой части системы ( VII, 23) от параметров учитывается приближенно. Так, в работе [132] для непрерывного аналога метода антиградиента правая часть разлагается в ряд, и траектория системы ( VI 1 23) заменяется участками траектории некоторой аппроксимирующей системы. [34]
После выбора осей j R, относительно которых будет реализовываться управление, производится определение вектора Д ( п управляющих двигателей. Характер этой процедуры зависит от заданного критерия оптимизации. Так, например, при оптимиза-зации процесса управления по критерию быстродействия Q ( TOP) непрерывно осуществляется анализ возможных траекторий движения КЛА в зависимости от выбранного управления. Для построения непрерывных аналогов траекторий используется идея прогнозирования фазовых координат как функции времени. [35]
Системы векторов в абстрактном гильбертовом пространстве рассмотрены в довольно общем виде, без предположений ортогональности или нормированности векторов в системе. После некоторой классификации систем векторов изучены их свойства по классам, особенно те, которые связаны со сходимостью рядов, с разложениями вектора в ряд по векторам системы. Сформулированы признаки, при которых система векторов является базисом гильбертова пространства. Для нужд приложений теория систем элементов распространена на системы многомерных и бесконечномерных векторов и на системы элементов гильбертова пространства над гильбертовым пространством. Если в изучении свойств систем векторов существенную роль играет их матрица Грама, то при изучении векторных функций непрерывного аргумента в гильбертовом пространстве подобную роль играет непрерывный аналог матрицы Грама, именуемый нами функцией Грама данной векторной функции. [36]
Именно поэтому рассмотренный алгоритм глобального поиска представляет скорее теоретический, нежели практический интерес. Действительно, для организации поиска нужно использовать аналоговую технику, применение которой для решения большинства практических задач весьма проблематично или связано с большими трудностями. Они связывают глобальный поиск с мощным математическим аппаратом теории случайных процессов. Этот аппарат дает возможность получать оценки оптимальных параметров поиска и характеристик его поведения, что необходимо при оптимальной организации поисковых процессов. Поэтому целесообразно шаговые процессы аппроксимировать некоторыми их непрерывными аналогами, которые укладываются в изложенную выше схему и для которых соответственно может быть применен математический аппарат теории непрерывных случайных процессов. [37]
Так, путь может быть измерен целым числом километров или миллиметров; биомасса измеряется тоннами или десятыми миллиграммов; время - годами или сотыми долями секунды. И, формально говоря, область значений и область определения упомянутых функций не являются промежутками, а представляют собой некоторые шкалы, может быть, с очень мелкими, но стандартными делениями. Величина этих делений определяется характером эксперимента и точностью приборов. Возраст крупных животных мы измеряем годами, а время жизни некоторых элементарных частиц - миллиардными долями секунды. Понятно, что, имея дело с такими функциями, невозможно говорить о непрерывности. Чтобы иметь возможность пользоваться аппаратом математического анализа там, где это удобно, функции, заданные на шкале, заменяются их непрерывными аналогами. [38]
Барбо и Ганю и всех им аналогичных индексов) избежать невозможно. Изломы в точках максимума индекса Барбо и скачки графика индекса Ганю происходят в одни и те же моменты времени - там, где какая-то пара планет достигает оппозиции. Причина такого рода особенностей графиков в том, что Зодиак цикличен и его нельзя адекватно перенести на прямую линию. Но можно предложить одну модификацию индекса Ганю, которая если не отменит скачки, то по крайней мере уменьшит их число. Так можно заменить все отрицательные слагаемые в сумме. В результате получаем сумму слагаемых, которые равны угловым расстояниям между планетами, но взятых не по кратчайшим дугам, как в индексе Барбо, а по тем дугам, по которым происходило движение более быстрой планеты от соединения с более медленной. Так построенная сумма, которую можно назвать фазовым индексом, отличается от индекса Ганю на слагаемое, кратное 360 градусам. Однако разрывы в графике фазового индекса происходят только тогда, когда завершается цикл пары планет. Тогда от углов, близких к 360 градусам, происходит переход через О градусов Овна. Если при этом подходе еще вычитать 360 градусов из суммы, определяющей фазовый индекс, то получится уже величина, меняющаяся непрерывно. Ее можно рассматривать как непрерывный аналог индекса Ганю, который сделать непрерывным возможно и непосредственно, устранив разрывы путем прибавления в точках разрыва 360 градусов. Однако интерпретация этого непрерывного индекса должна отличаться от той, которая используется для индекса Ганю. В последнем главную роль играет знак суммы, а фазовый индекс всегда положителен и потому его интерпретации ближе к той, которая используется для индекса Барбо. Фазовый индекс характеризует степень завершенности циклов, смысл которых связан с планетами, используемыми при его вычислении. [39]