Cтраница 2
Критическая нагрузка и форма потери устойчивости оболочки вращения отрицательной гауссовой кривизны существенно зависят от того, обеспечивают ли тангенциальные граничные условия отсутствие бесконечно малых изгибаний срединной поверхности. Предположим сначала, что изгибаний нет. [16]
Легко показать, что, если полная безмоментная краевая задача имеет решение, то в нем будут присутствовать элементы произвола, соответствующие возможным изгибаниям срединной поверхности. Перемещениям любого изгибания соответствуют нулевые компоненты тангенциальной деформации, а значит, в силу формул (7.1.4), и нулевые тангенциальные усилия. Поэтому перемещения возможного изгибания заведомо удовлетворяют однородным безмоментным статическим уравнениям и однородным статическим тангенциальным условиям. Кроме того, они по определению удовлетворяют однородным безмоментным геометрическим уравнениям и однородным геометрическим тангенциальным условиям. [17]
Пусть Н - подпространство, элементами которого являются пары g ( U, tUs)), где U - вектор смещения при бесконечно малых изгибаниях срединной поверхности, a ll ( S) - касательная компонента U вдоль границы. [18]
Решение ( единственное) безмоментных статических уравнений, удовлетворяющих во всех точках края ( или краев) двум тангенциальным условиям для оболочки положительной кривизны, существует тогда и только тогда, когда внешние поверхностные и краевые силы не совершают работы на перемещениях всех возможных изгибаний неподкрепленной срединной поверхности оболочки. [19]
В этой главе рассматривается устойчивость безмоментного осесимметричного состояния слабо закрепленных оболочек, вращения. Обсуждаются случаи, когда существуют нетривиальные изгибания срединной поверхности, что, как правило, влечет за собой уменьшение порядка критических нагрузок. Рассматриваются также случаи, когда истинных изгибаний, удовлетворяющих наложенным закреплениям, нет, однако сушествуют такие деформации срединной поверхности, близкие к изгибаниям, что им также соответствует снижение порядка критической нагрузки по сравнению с хорошо закрепленной оболочкой. [20]
Поставим задачу: определить необходимые условия закрепления оболочки, обращающие общее решение однородных дифференциальных уравнений (15.40) и (15.41) в нуль. Такие перемещения, как уже было сказано, называются изгибанием срединной поверхности оболочки и свидетельствуют о геометрической изменяемости последней как статической системы. [21]
Производи, содержащиеся в решении полной краевой задачи безмоментной теории, могут и исчезнуть. Это будет тогда, когда ее тангенциальные геометрические граничные условия не допускают изгибаний срединной поверхности. [22]
Пусть для некоторой оболочки ( не обязательно нулевой кривизны) поставлена полная краевая задача безмементной теории, заключающаяся в том, что на каждом краю сформулированы по два идеализированных тангенциальных граничных условия, среди которых, вообще говоря, будет находиться и некоторое число геометрических условий. Тогда можно ввести важное для дальнейшего понятие о возможных изгибаниях, подразумевая под этим такие изгибания срединной поверхности, которые удовлетворяют всем однородным тангенциальным геометрическим граничным условиям данной полной краевой задачи безмоментной теории. В число тангенциальных граничных условий задачи могут и не входить геометрические граничные условия. Тогда возможными надо считать все изгибания, которые имеет срединная поверхность оболочки, когда ее края ничем не стеснены. [23]
Физический смысл условий разрешимости задач Р и р, принятых в этом параграфе, также очевиден. Предполагается, что задача р имеет г линейно независимых решений, но в однородном случае она определяет такие изгибания срединной поверхности оболочки, которые согласуются с тангенциальным закреплением. Это значит, что речь идет о случае, когда рассматриваемое закрепление нежестко. [24]
Физический смысл случая I очевиден. В нем однородная задача р по предположению имеет только тривиальное ( нулевое) решение. По смыслу она совпадает с однородной геометрической безмоментной задачей, заключающейся в построении перемещений, соответствующих изгибаниям срединной поверхности. [25]
Физически ясно, что, если мы хотим, чтобы напряженное состояние оболочки было безмоментным, то надо так закрепить края, чтобы исключить бесконечно малые изгибания ее срединной поверхности. В части IV предпринята попытка положить эту гипотезу в основу формулировки условий существования краевых задач безмоментной теории. Они сформулированы в виде гипотетической теоремы о возможных изгибаниях, которая вкратце заключается в том, что, если при данном способе защемления краев изгибания срединной поверхности возможны, то решение краевой задачи безмоментной теории будет существовать только тогда, когда внешние силовые воздействия не совершают работы на перемещениях этих изгибаний. Выяснилось, что теорема о возможных изгибаниях должна быть обусловлена целым рядом дополнительных предположений, полного списка которых получить не удалось. Тем не менее в части III постоянно проводятся сопоставления получаемых там теорем существования с теоремой о возможных изгибаниях. Это позволяет обнаружить те обстоятельства, которые исключают возможность построения решения краевых задач безмоментной теории, а следовательно, как уже говорилось, являются причиной некоторого искажения свойств напряженно-деформированного состояния оболочки. [26]
Все эти выводы вытекают из рассмотрения случая, когда на краю оболочки тангенциальные закрепления совсем отсутствуют. Однако они остаются в силе и тогда, когда имеется одно тангенциальное закрепление, если оно нежесткое. В этом можно убедиться, просмотрев формулы (20.13.1) и (20.13.8), которые показывают, что нежесткое тангенциальное закрепление не оказывает влияния на асимптотику напряженного состояния. Значение такого закрепления заключается лишь в том, что оно сокращает число линейно независимых изгибаний срединной поверхности, а следовательно, и уменьшает число условий, которые по теореме о возможных изгибаниях надо выполнить, чтобы стало возможным решение полной краевой задачи безмоментнои теории. Тогда изменятся и выводы, относящиеся к асимптотике основного напряженного состояния оболочки. Действительно, если возможные изгибания тривиальны, то им отвечают нулевые компоненты изгибной деформации xlt т, хг. Это значит, что в исходных приближениях чисто моментного напряженного состояния обратятся в нуль все усилия и моменты, а последние и порождают напряжения наибольшей интенсивности. Более подробно на этом случае мы останавливаться не будем. [27]
Соотношение (3.1) органически связывает безмоментную теорию оболочек с теорией бесконечно малых изгибаний поверхностей. Эта связь весьма плодотворна. Совместное рассмотрение задач дает возможность глубже и полнее изучить их. Оно означает, что для реализации мембранного состояния напряженного равновесия необходимо и достаточно, чтобы работа внешней нагрузки на перемещениях, соответствующих бесконечно малым изгибаниям срединной поверхности оболочки, равнялась нулю. [28]