Андронова-хопфа

Cтраница 2

Эволюционная диаграмма задачи 2. 1000, В 12, ( 52 2, & С [ 9й О, Л 1, Da2 0 2, A амплитуда переменной a Da, 0 0007 /, Da, 0 000035 /. [16]

Поучительно сравнить эволюционную диаграмму рис. 5.37 Ь с бифуркационной диаграммой по параметрам Da, и Da2 на рис. 5.20 с, где видны точки бифуркации Андронова-Хопфа. [17]

Схема бифур - параметра А будет такой, как показано на кации Тьюринга в урав - Здесь легко узнать типичную бифуркационную нении - это диаграмму - вилку, с которой мы сталкива-обычная бифуркация лись, обсуждая язык нелинейной динамики. Од-типа вилки, но в бес - нако следует подчеркнуть, что здесь речь идет конечномерной дина - о явлениИ. возникающем именно в распределен-мическои системе нои системе решение ( Х0, Y0 в пространственно. [18]

Если при А АО у линеаризованной задачи два чисто мнимых значения ( два комплексно сопряженных собственных значения проходят через мнимую ось), то происходит упоминавшаяся в предыдущей части книги бифуркация Андронова-Хопфа, и в системе начинаются колебания. [19]

Катастрофа сборки. [20]

С позиций удаленного наблюдателя все ясно, поскольку при больших по норме х во втором уравнении (6.3) начинает преобладать нелинейный член, толкающий систему к нулю - но это эвристика. В итоге получается бифуркация Андронова-Хопфа. [21]

Это явление называется жесткой потерей устойчивости. Достаточные условия возникновения бифуркации Андронова-Хопфа в 1-параметрической - мерной системе дифференциальных уравнений даются следующей теоремой. [22]

Положения равновесия уравнения (2.6.3) могут претерпевать бифуркации точно так же, как и положения равновесия обыкновенных дифференциальных уравнений. В частности, в случае бифуркации Андронова-Хопфа от положения равновесия уравнения (2.6.3) ответвляется замкнутая траектория; это означает, что от стационарного решения уравнения (2.6.1) ответвляется периодическое решение этого уравнения. [23]

В работах [14, 18-21] рассматриваются бифуркации, происходящие, в частности, при потере устойчивости плоской волны в цилиндре ( 32), когда параметр ц, проходит через некоторое значение. Скорость волны, рождающейся при бифуркациях, является наряду с функцией и искомой величиной. Если записать систему в координатах, связанных с фронтом волны, то рассматриваемые бифуркации оказываются близкими к известным бифуркациям Андронова-Хопфа ( см., например, [45]), но имеют свою специфику, которая связана с кратностью собственных значений ( в силу симметрии рассматриваемых задач) и неединственностью плоских волн. [24]

Данная книга задумана прежде всего как справочное по-собие. Поэтому читатель не обязан стремиться изучить ее систематически от первой страницы до последней. Исходя из этого, некоторые основные определения мы повторяем в разных главах книги. Так сделано, например, при формулировке условий существования точки комплексной бифуркации ( бифуркации Андронова-Хопфа), и при изучении гл. Из-за ограниченности объема книги полностью соблюсти это правило не удалось, и потому ряд понятий и терминов в тексте приводится со ссылками на соответствующую главу, где это понятие вводится. В принципе каждую главу книги можно прорабатывать независимо от других. [25]

Мандельштам первым пришел к пониманию возможности такой дисциплины, как теория нелинейных колебаний, - до этого полагали, что нелинейные явления должны изучаться для каждой конкретной системы отдельно. В конце 20 - х годов ученик Мандельштама А.А. Андронов ( 1901 - 1952) установил, что адекватным математическим образом периодических автоколебаний являются предельные циклы, введенные Пуанкаре в его качественной теории дифференциальных уравнений. Одно из важных достижений - исследование момента возникновения автоколебаний при изменении параметров, ситуации, которую теперь называют бифуркацией Андронова-Хопфа. С 1931 г. Андронов работает в Нижнем Новгороде ( Горьком), где вокруг него формируется крупная научная школа в области теории колебаний. В 1937 г. выходит классическая книга А. А. Андронова, А. А.Витта и С.Э.Хайкина Теория колебаний. Один из соавторов книги - Витт оказался жертвой репрессий и погиб в лагерях, в издании книги 1937 г. его имя было исключено и восстановлено только в последующих изданиях. [26]

Страницы: 1 2