Cтраница 2
В силу теоремы 14.1 функция r j ( x, у) интегрируема на прямоугольнике Р, что означает измеримость множества Q. [16]
Теорема 3.4.6 имеет три важных преимущества по сравнению со следствием 3.4.3. Во-первых, нам не нужно больше проверять, принадлежит ли а-алгебре L ( s &) внешнее множество st - 1 ( / C), такая проверка требуется лишь для внутренних множеств 0; в большинстве приложений эти множества будут лежать даже в s &, так что проверка тривиальна. Во-вторых, требуется проверять измеримость множеств только из базы топологии; это - важное преимущество для тех пространств, в которых открытые множества не порождаются счетными операциями из элементов базы. Когда в следующем параграфе мы перейдем к приложениям, мы будем систематически использовать все три отмеченных обстоятельства. [17]
Заканчивая обзор работ по теории проективных множеств, необходимо отметить, что в этой области работами советских ученых, в первую очередь Л у зи н а [25], выделена группа проблем, которые не только не решены, но относительно которых у всех работающих в этом направлении создается убеждение, что решение их средствами современной математики в духе классической теории множеств невозможно. Наиболее известные из этих проблем следующие: проблема мощности СА-множеств и проблема измеримости проективных множеств. Все более укрепляется убеждение в том, что рассмотрение этих проблем настойчиво требует методов математической логики. [18]
При исследовании проблемы о мощности С А - множеств Н. Н. Лузин вводит проективные множества. Изучение проективных множеств даже второго класса наталкивается на непреодолимые трудности. Так, не решен полностью вопрос об измеримости множеств ( 52) их мощности и о наличии у них свойства Бэра. Важные результаты в этом направлении получены П. С. Новиковым [4]: существует несчетное С А - множество, относительно к-рого непротиворечиво предположение, что оно не содержит совершенного подмножества; существует множество ( В2), относительно к-рого непротиворечиво утверждение, что оно неизмеримо. Хаусдорфом [9] общей теории теоретико-множественных операций; однако основной класс операций составляют положительные теоретико-множественные операции, или бе-операции. [19]
Теоремы и предложения, установленные до сих пор в этой главе, остаются в силе и для функций, допускающих бесконечные значения, с одной оговоркой: в тех случаях, когда речь идет о действиях над функциями, нужно, чтобы эти действия имели смысл; например, при сложении двух функций приходится требовать, чтобы не было точек, в которых эти функции имели бы бесконечные значения разных знаков. Существенное исключение составляет лишь теорема VI. Дело в том, что на этот раз, в отличие от случая, когда функция имела только конечные значения, измеримость множества Е не вытекает из измеримости лебеговых множеств одного типа. Это подтверждается простым примером: функция f ( х) задана на неизмеримом множестве Е и равна на нем - оо. [20]
Теоремы и предложения, установленные до сих пор в этой главе, остаются в силе и для функций, допускающих бесконечные значения, с одной оговоркой: в тех случаях, когда речь идет о действиях над функциями, нужно, чтобы эти действия имели смысл; например, при сложении двух функций приходится требовать, чтобы не было точек, в которых эти функции имели бы бесконечные значения разных знаков. Существенное исключение составляет лишь теорема VI. Дело в том, что на этот раз, в отличие от случая, когда функция имела только конечные значения, измеримость множества Е не вытекает из измеримости лебеговых множеств одного типа. Это подтверждается простым примером: функция f ( х) задана на неизмеримом множестве Е и равна на нем - оо. [21]