Cтраница 1
Интегрирование системы нелинейных дифференциальных уравнений ( 14) и ( 15) при общих начальных условиях ( 19) - задача чрезвычайно трудная. Она в общем случае начальных условий не решена даже тогда, когда внешними силами являются только сила тяжести самого тела и реакция закрепленной точки. Эти частные случаи называют случаями интегрируемости уравнений Эйлера. [1]
Интегрирование системы нелинейных дифференциальных уравнений ( 14) и ( 15) при общих начальных условиях ( 19) - задача чрезвычайно трудная. Она в общем случае начальных условий не решена даже тогда, когда внешними силами являются только сила тяжести самого тела и реакция закрепленной точки. Эти частные случаи называют случаями интегрируемости уравнений Эйлера. [2]
Интегрирование системы нелинейных дифференциальных уравнений ( 14) и ( 15) при общих начальных условиях ( 16) - задача чрезвычайно трудная. Она в общем случае начальных условий не решена даже тогда, когда внешними силами являются только сила тяжести самого тела и реакция закрепленной точки. Эти частные случаи называют случаями интегрируемости уравнений Эйлера. [3]
Для интегрирования системы геометрически нелинейных дифференциальных уравнений устойчивости используют метод возмущений [105], метод разложения в степенные ряды [106] и [107], метод Бубнова - Галеркина и энергетические методы. [4]
Для интегрирования системы геометрически нелинейных дифференциальных уравнений устойчивости используют метод возмущений [130], метод разложения в степенные ряды [148] и [105], метод Бубнова - Галеркина и энергетические методы. [5]
С помощью этого метода интегрирование систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных сводится к численному решению некоторой аппроксимирующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений. [6]
Анализ чувствительности рассмотренными методами сводится к интегрированию систем линейных и нелинейных дифференциальных уравнений. При использовании вариационного метода анализа чувствительности необходимо при интегрировании системы нелинейных дифференциальных уравнений (5.10) хранить в памяти текущие значения вектора переменных состояния. В этом случае естественным является выбор численного метода интегрирования, который позволил бы при заданной точности за наименьшее количество шагов находить решение. Однако если разброс собственных значений матрицы Якоби 9F / dV невелик, то эти методы, как указывалось ранее, становятся неэкономичными, так как на каждом шаге интегрирования необходимо решать систему линейных алгебраических уравнений. В этом случае явные методы позволяют находить решение при значительно меньших вычислительных затратах на каждом шаге. [7]
Решение указанных задач связано в общем случае с интегрированием системы нелинейных дифференциальных уравнений при заданных граничных условиях. [8]
Гидродинамические расчеты процессов разработки при режиме растворенного газа связаны с интегрированием системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Так как такое решение получено лишь для нескольких частных случаев, расчеты притока жидкости к скважинам при режиме растворенного газа проводят методом последовательной смены стационарных состояний. При этом рассматривают две фазы процесса: 1) возмущение, вызванное снижением забойного давления, распространяется по зоне влияния скважины до ее границы; 2) происходит снижение давления на границе зоны. [9]
Как и нужно было ожидать, задача в этом случае сводится к интегрированию системы нелинейных дифференциальных уравнений. [10]
Для численного решения практических задач, связанных с теплопе-реносом, течением жидкости и другими аналогичными явлениями, требуется, как правило, интегрирование системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных по пространственным координатам и времени. Хотя существуют численные методы для получения такого решения, задача написания и использования общих вычислительных программ для всех практически важных процессов тепломассопереуноса достаточно трудна. Подобная задача может оказаться просто пугающей, особенно для начинающего. Более приемлемое начало исследований в сфере численного моделирования может быть обеспечено с помощью уже готовой к использованию вычислительной программы, ограниченной подмножеством решаемых задач теплопереноса и течения жидкости. [11]
Рассмотренные выше вычислительные затруднения в получении окончательного решения при отыскании экстремалей функционала ( V48) в значительной степени возрастают при решении вариационных задач с функционалами от нескольких функций (V.117), особенно при наличии ограничений (V.118) или ( V121), когда решение задачи сводится к интегрированию системы нелинейных дифференциальных уравнений с краевыми условиями. [12]
Рассмотренные выше вычислительные затруднения в получении окончательного решения при отыскании экстремалей функционала ( V, 48) в значительной степени возрастают при решении вариационных задач с функционалами от нескольких функций ( V, 117), особенно при наличии ограничений ( V, 11.8) или ( V, 121), когда решение задачи сводится к интегрированию системы нелинейных дифференциальных уравнений с краевыми условиями. [13]
Неявные методы интегрирования свободны от ограничений на минимальную постоянную времени. Однако они в случае интегрирования системы нелинейных дифференциальных уравнений требуют решения системы нелинейных алгебраических уравнений относительно u, i на каждом временном шаге или вычисления и обращения якобиана системы при использовании неитерационной процедуры. В этом последнем случае возникает ограничение на шаг интегрирования, связанное со сходимостью неитерационного процесса: изменение вектора переменных на шаге интегрирования не должно приводить к значительному изменению якобиана системы. Очевидно, успех применения неявных методов определяется эффективностью вычисления обратной матрицы Якоби, так как только при достаточно малых затратах времени, связанных с этой процедурой, может быть достигнута значительная экономия машинного времени по сравнению с явными методами. [14]
Требуется найти форму ударной волны, ее положение и движение между ударной волной и цилиндром вплоть до не известной заранее линии перехода через скорость звука и далее. Этот последний метод сводит задачу интегрирования системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных к решению некоторой аппро - - , ксимирующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений. [15]