Cтраница 2
На множестве К определим основные арифметические операции. Легко проверяется, что отношение - является конгруэнцией алгебры X. В алгебре ( М, , ) выполняются все аксиомы поля. [16]
На этом мы заканчиваем наше первое знакомство с линейными пространствами. Отметим лишь только, что мы не случайно записали свойства операций в поле и в линейном пространстве в единой форме. Существуют черты разительного сходства ( и в равной мере различия) между аксиомами поля и линейного пространства над полем. Читателю следует над ними задуматься. [17]
Если сложение и умножение определены в некотором множестве объектов ( скаляров) так, что выполнены условия А, В, С, то это множество ( с заданными в нем операциями) называется полем. Например, множество всех рациональных чисел ( с обычными определениями суммы и произведения) есть поле и то же верно для множества всех действительных и множества всех комплексных чисел. Поле может быть не только числовым, но и абстрактным; свойства 1 - 9 являются аксиомами поля. Поле называется конечным полем, если множество составляющих его объектов ( элементов поля) конечно. [18]
Гильберт фиксирует три точки О, U и V на прямой и, опираясь на аксиомы инцидентности и D-теорему, указывает две конструкции, каждая из которых по любой паре точек прямой, отличных от V, позволяет найти определенную точку прямой, также отличную от V. Одну из операций Гильберт называет сложением, другую - умножением и доказывает, что для этих операций выполняются все аксиомы поля, кроме аксиомы о коммутативности умножения. Для коммутативности умножения необходимо и достаточно, чтобы выполнялась еще теорема Паскаля ( сокращенно: Р - теорема) о шести точках, располагающихся по три на каждой из двух данных прямых. [19]
Его иногда называют спектром формулы. Это множество может быть устроено довольно сложным образом: например, для формулы, выражающей аксиомы поля, спектр состоит из всех степеней простых чисел. [20]
Количество математических знаний, которые должен освоить будущий математик и даже физик или инженер, огромно. Тем не менее можно обучить студента достаточно быстро, если действовать чисто дедуктивным методом, выводя все необходимые факты из нескольких весьма общих концепций. Такой метод часто соблазняет молодых преподавателей. Но чисто дедуктивное представление вещей может произвести впечатление божественного откровения. Когда студенту говорят, что действительные числа - это множество, удовлетворяющее следующим четырнадцати аксиомам ( и выписывают аксиомы поля, порядка и аксиому о верхней грани), у него возникает мысль о выборе карьеры. [21]
Мне это настолько нравится, что в течение 35 лет я постоянно излагаю это в лекциях; но, однако, нравится мне, по-видимому, недостаточно, во всяком случае, не до безумия. Я-то преподношу это слушателям, которые уже знают, что такое геометрия, в лекции, и это небольшой отрывок, а в остальном дается геометрия, которая известна слушателям. Но что может означать этот кусочек из оснований геометрии в школьном преподавании. Какие функции он должен там выполнять. Поле рациональных чисел школьники освоили оперативно, может быть с помощью числовой прямой для наглядности. Если же у них возникает потребность в новом обосновании поля рациональных чисел, то это можно сделать четко и ясно - ввести аксиомы упорядоченного ( архимедовски) поля, - а не путем экскурсии в девственный лес, в тропических джунглях которого цветут 10 или 20 геометрических аксиом, и где в конце концов, когда уже выберешься из чащи, возникают как мираж аксиомы поля. [22]