Cтраница 3
Доказать, что если А есть положительно определенный оператор в унитарном пространстве, то функция ( х, у) А ( Ах, у) удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения. [31]
Если А ( х, у) представляет собой билинейную форму, полярную положительно определенной квадратичной форме А ( х, ж), то А ( х, у) удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения векторов в евклидовом пространстве. [32]
Если А ( х, у) представляет собой билинейную форму, полярную положительно определенной квадратичной форме А ( х, х), то А ( х, у) удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения векторов в евклидовом пространстве. [33]
Если Д ( х, у) представляет собой билинейную форму, полярную положительно определенной квадратичной форме Д ( х, х), то Л ( х, у) удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения векторов в евклидовом пространстве. [34]
Если А ( х, у) представляет собой билинейную форму, полярную положительно определенной квадратичной форме А ( х, х), то А ( х, у) удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения векторов в евклидовом пространстве. [35]
Так как функция р ( х) ограничена и для нее имеет место оценка (1.7), то скалярное произведение (4.6) имеет смысл на всех функциях, принадлежащих L2 ( G), и все аксиомы скалярного произведения выполняются. [36]
Нетрудно также убедиться в справедливости всех аксиом скалярного произведения. [37]
Таким образом, пришли к противоречию с аксиомой 4, в силу которой скалярный квадрат любого элемента линейного пространства должен быть неотрицательным. Следовательно, в комплексном линейном пространстве нельзя сохранить без изменения аксиомы скалярного произведения, принятые в вещественном евклидовом пространстве. [38]
Именно, оно имеет смысл на R. R % ( т.е. сохраняется при замене выражений X и X на равные) и удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения. [39]
В силу этого равенства квадратный трехчлен Ха (, х) - 2К ( х, у) - - ( у, у), который можно записать в виде ( Яд: - у, х-у), имеет единственный корень Я. Поэтому получаем равенство ( Яо - у, Яо - 1 /) 0, из которого в силу аксиомы IV скалярного произведения следует, что КоХ у. Если я6, то элементы х и у также линейно зависимы. [40]
Со всяким положительным ( в частности, положительно определенным) оператором можно связать особое гильбертово пространство, которое называют энергетическим пространством. Пусть А - положительный оператор, действующий в некотором гильбертовом пространстве Н, и пусть М D ( A) - область определения этого оператора. Легко проверяется, что энергетическое произведение удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения. [41]