Cтраница 1
Аксиома выбора вместе с привлекательными выводами, подобными только что приведенным фактам или тем теоремам, которые эквивалентны ей ( в ZF), обладает и многими странными следствиями, доказывающими существование разного рода экзотических множеств. [1]
Аксиома выбора делает значительно более регулярной структуру бесконечных мощностей, располагая такие мощности через теорему Цермело в иерархию але-фов. С другой стороны, аксиома детерминированности, не давая столь ясной картины бесконечных мощностей, позволяет доказать измеримость по Уламу и некоторые другие интересные свойства малых кардиналов вроде fc i. Между тем аксиома выбора очень сильно удаляет И31меримые кардиналы от мира более или менее реальных мощностей. [2]
Аксиома выбора имеет большое число эквивалентных формулировок, которые можно найти едва ли не в каждой современной книге по математике. [3]
Аксиома выбора представляет собой одну из основных аксиом современной математики. В книге прослежена история этого предложения и отдельных его эквивалентов до введения аксиоматик теории множеств. [4]
Аксиома выбора часто используется в этой книге, хотя факт ее применения обычно не отмечается. Однако иногда удобнее пользоваться аксиомой выбора не в ее первоначальном виде, а в одной из альтернативных форм, которые являются важными теоремами теории множеств. Ниже мы сформулируем теорему Цермело о вполне упорядочиваемости и два принципа максимума, являющиеся альтернативными формами аксиомы выбора, и докажем равносильность всех четырех утверждений. [5]
Аксиома выбора следует из леммы Куратовского - Дорна. [6]
Аксиома выбора, безусловно, не является инструментом, имеющим утилитарное значение для инженера, но это существенный фактор общематематической культуры. [7]
Аксиома выбора, теорема Цермело и другие эквивалентные им утверждения. Сравнимость вполне упорядоченных множеств по мощности подсказывает следующую постановку вопроса: нельзя ли всякое множество вполне упорядочить каким-либо образом. Положительный ответ означал бы, в частности, что несравнимых мощностей вообще не существует. Такой ответ дал Цермело, доказав, что каждое множество может быть вполне упорядочено. Доказательство этой теоремы ( мы не будем воспроизводить его здесь, см., например, [2]) существенно опирается на так называемую аксиому выбора, состоящую в следующем. [8]
Аксиома выбора, наоборот, утверждает, что в этом универсуме должны существовать определенные множества, если некоторые уже существуют. [9]
Аксиома выбора, теорема Цермело и другие эквивалентные им утверждения. Сравнимость вполне упорядоченных множеств по мощности подсказывает следующую постановку вопроса: нельзя ли всякое множество вполне упорядочить каким-либо образом. Положительный ответ означал бы, в частности, что несравнимых мощностей вообще не существует. Такой ответ дал Цермело, доказав, что каждое множество может быть вполне упорядочено. Доказательство этой теоремы ( мы не будем воспроизводить его здесь, см., например, [2]) существенно опирается на так называемую аксиому выбора, состоящую в следующем. [10]
Кроме аксиомы выбора иногда используют разные ее частные случаи. [11]
Применения аксиомы выбора или ее эквивалентов в классическом анализе настолько широки и многообразны, что их рассмотрение в чисто историческом плане реально не осуществимо - для этого потребовался бы пересмотр огромного числа рассуждений, нередко чрезвычайно запутанных, к тому же изложенных на математическом языке, порой довольно далеком от языка стандартных учебников нашего времени, и их описание с необходимыми пояснениями не вместилось бы в рамки большой книги. [12]
Утверждение аксиомы выбора кажется интуитивно ясным, однако использование этой аксиомы приводит к неконструктивным доказательствам, так как закон выбора не может быть указан явно. Многие факты, установленные с помощью аксиомы выбора не являются наглядными. [13]
Итак, аксиома выбора влечет теорему Цермело, а последняя - лемму Цорна. [14]
Напротив, аксиома выбора приводит к построению ряда примеров множеств с парадоксальными свойствами, лишенных какой-либо индивидуальности, причем ие только в области множеств действительных чисел или несчетных кардиналов, но и в теоретико-множественной топологии. Топологи широко используют АС для конструирования разнообразных интересных пространств. В то же время воздействие аксиомы детерминированности на развитие топологии пока что практически равно нулю. [15]