Cтраница 2
Пытаясь выяснить, справедливо ли это же в отношении первой основной теоремы И. Отрицательное решение 14 - й проблемы Гильберта было получено в [9], где приведен пример представления коммутативной унипотентной группы, для к-рого алгебра инвариантов не имеет конечного числа образующих. Было доказано [13], [14], что конечные линейные комплексные группы, порожденные унитарными отражениями, могут быть охарактеризованы как конечные линейные группы, алгебра инвариантов к-рых не имеет сизигий. [16]
Идея этого метода геометрическая. Она основана на том, что алгебра S ( V) G свободна тогда и только тогда, когда определяемое ею аффинное алгебраическое многообразие V / G неособо. Особенности же этого многообразия можно изучать, рассматривая действия стабилизаторов тех точек, орбита которых замкнута, в пространстве, дополнительном к касательному пространству к этой орбите. Если стабилизатор таков, что алгебра инвариантов для его действия в указанном пространстве несвободна, то V / G будет иметь в соответствующей точке особенность и, значит, S ( V) G будет несвободной. С помощью этой процедуры перехода к стабилизаторам список известных групп с несвободной алгеброй инвариантов можно постепенно пополнять, и так удается оставить лишь несколько групп, алгебру инвариантов которых следует рассмотреть непосредственно. [17]
Если, кроме того, многообразие p ( G) w - p ( G) w имеет в p ( G) w коразмерность 2 ( чертой обозначено замыкание в W можно показать, что орбита p ( G) w открыта в своем замыкании, см. Борель [ 1, стр. Я удовлетворяет условию codim 2 на G / Я. Всегда существует наименьшая обозримая в G подгруппа Я с: G, содержащая Я. Она обладает тем свойством, что для любого рационального линейного представления у: G - GL ( V) алгебры инвариантов S ( V) v ( H) и S ( V) Y ( / n совпадают. По этой причине, изучая алгебры инвариантов, достаточно ограничиться рассмотрением только обозримых подгрупп. [18]
Пытаясь выяснить, справедливо ли это же в отношении первой основной теоремы И. Отрицательное решение 14 - й проблемы Гильберта было получено в [9], где приведен пример представления коммутативной унипотентной группы, для к-рого алгебра инвариантов не имеет конечного числа образующих. Было доказано [13], [14], что конечные линейные комплексные группы, порожденные унитарными отражениями, могут быть охарактеризованы как конечные линейные группы, алгебра инвариантов к-рых не имеет сизигий. [19]
Идея этого метода геометрическая. Она основана на том, что алгебра S ( V) G свободна тогда и только тогда, когда определяемое ею аффинное алгебраическое многообразие V / G неособо. Особенности же этого многообразия можно изучать, рассматривая действия стабилизаторов тех точек, орбита которых замкнута, в пространстве, дополнительном к касательному пространству к этой орбите. Если стабилизатор таков, что алгебра инвариантов для его действия в указанном пространстве несвободна, то V / G будет иметь в соответствующей точке особенность и, значит, S ( V) G будет несвободной. С помощью этой процедуры перехода к стабилизаторам список известных групп с несвободной алгеброй инвариантов можно постепенно пополнять, и так удается оставить лишь несколько групп, алгебру инвариантов которых следует рассмотреть непосредственно. [20]
Если, кроме того, многообразие p ( G) w - p ( G) w имеет в p ( G) w коразмерность 2 ( чертой обозначено замыкание в W можно показать, что орбита p ( G) w открыта в своем замыкании, см. Борель [ 1, стр. Я удовлетворяет условию codim 2 на G / Я. Всегда существует наименьшая обозримая в G подгруппа Я с: G, содержащая Я. Она обладает тем свойством, что для любого рационального линейного представления у: G - GL ( V) алгебры инвариантов S ( V) v ( H) и S ( V) Y ( / n совпадают. По этой причине, изучая алгебры инвариантов, достаточно ограничиться рассмотрением только обозримых подгрупп. [21]