Cтраница 1
Современная алгебра, берущая свое начало в замечательных работах Гильберта конца прошлого века, сложилась в общих чертах в 20 - е годы. Итогом этого периода становления явилось первое издание настоящей книги, вышедшее в 1931 году. Хотя с тех пор передний край алгебраических исследований продвинулся далеко, книга и сейчас выглядит свежо и современно, - правда, уже не как свод новейших результатов и понятий, а как отличный учебник основ алгебры. Эволюция книги от издания к изданию хорошо отражена в предисловиях автора. [1]
Современная алгебра, так же как классическая, есть учение о действиях, о правилах вычислений. Но она не ограничивается изучением свойств действий над числами, а стремится изучать свойства действий над элементами все более общей природы. Эта тенденция диктуется потребностями практики. Так, в механике складываются силы, скорости, повороты. [2]
Современная алгебра после Штейница добавила к этому оправдание давно известного с помощью теоретико-множественных методов, мы покажем это ниже. [3]
Современная алгебра, берущая свое начало в замечательных работах Гильберта конца прошлого века, сложилась в общих чертах в 20 - е годы. Итогом этого периода становления явилось первое издание настоящей книги, вышедшее в 1931 году. Хотя с тех пор передний край алгебраических исследований продвинулся далеко, книга и сейчас выглядит свежо и современно, - правда, уже не как свод новейших результатов и понятий, а как отличный учебник основ алгебры. Эволюция книги от издания к изданию хорошо отражена в предисловиях автора. [4]
Современная алгебра, еще недавно казавшаяся наукой, далекой от жизни, имеет сейчас многочисленные приложения. Многие тонкие алгебраические структуры приобретают вполне реальное содержание. Практика подсказывает и неожиданные новые структуры, обогащающие алгебру. При этом алгебра не опускается до приложений, а совсем наоборот - существенно выигрывает благодаря новым связям. [5]
В современной алгебре трансфинитными числами ( трансфинитами, порядковыми числами, ординальными числами и ординалами) называют элементы вполне упорядоченного множества. [6]
Некоторые разделы современной алгебры посвящены изучению алгебраических структур, возникших в математической логике. Работы этого рода в России были начаты в Казанском университете, сохранявшем долгое время новаторские традиции Лобачевского. Здесь Платон Сергеевич Порецкий ( 1846 - 1907), в частности, прочитал в 1887 / 88 г. первый в нашей стране курс математической логики. [7]
Теория групп и современная алгебра вообще изобилует интересными разрешимыми и неразрешимыми проблемами. При этом многие из них касаются свойств слов и образующих, сходных с проблемой слов. [8]
Атмосфера книги, подобной Современной алгебре Ван дер Вардена 8, опубликованной около 1930 года, совершенно отлична от господствовавшей, например, в статьях по алгебре, написанных для Математической энциклопедии 9 около 1900 года. [9]
Особо выдающуюся роль в современной алгебре играет теория групп, которой и будет посвящена большая часть этой главы. [10]
Во многих книгах по современной алгебре [12] можно найти доказательство того, что любая матрица, элементы которой являются действительными ( или комплексными) числами, всегда может быть превращена путем подобного преобразования в каноническую форму, называемую канонической формой Жордана. [11]
Кольцо является одним из основных понятий современной алгебры. [12]
Появление в 1930 и 1931 гг. двухтомной Современной алгебры Ван-дер - Вардепа показало широким кругам математиков, что алгебра, одна из старейших ветвей математики, радикально перестроилась, что она стала наукой теоретико-множественной, аксиоматической. Эта новая наука долго так и называлась современной алгеброй, хотя неудобства этого названия выявились довольно скоро, и сейчас с моей легкой руки утвердилось название общая алгебра. Результаты этой перестройки можно назвать взрывом; это относится и к развитию самой алгебры, и к влиянию ее на всю математику. Если начать с последнего, то можно отметить хотя бы влияние общей алгебры на развитие топологии, в частности, ее роль в создании алгебраической топологии; многостороннее влияние на развитие функционального анализа; поглощение проективной геометрии; определяющую роль при возрождении алгебраической геометрии; стимулирование появления ряда новых разделов математической логики, а также многое другое. [13]
Появление в 1930 и 1931 гг. двухтомной Современной алгебры Ван-дер - Вардена показало широким кругам математиков, что алгебра, одна из старейших ветвей математики, радикально перестроилась, что она стала наукой теоретико-множественной, аксиоматической. Эта новая наука долго так и называлась современной алгеброй, хотя неудобства этого названия выявились довольно скоро, и сейчас с моей легкой руки утвердилось название общая алгебра. Результаты этой перестройки можно назвать взрывом; это относится и к развитию самой алгебры, и к влиянию ее на всю математику. Если начать с последнего, то можно отметить хотя бы влияние общей алгебры на развитие топологии, в частности, ее роль в создании алгебраической топологии; многостороннее влияние на развитие функционального анализа; поглощение проективной геометрии; определяющую роль при возрождении алгебраической геометрии; стимулирование появления ряда новых разделов математической логики, а также многое другое. [14]
Предназначена книга для читателей, интересующихся современной алгеброй и ее приложениями и знакомых с основами теории групп. В ряде случаев используются также некоторые хорошо известные сведения о ниль-потентных и разрешимых группах. Весь этот теоретико-групповой материал имеется, конечно, во втором издании книги А. Г. Куроша Теория групп, владение которой, особенно для второй части, весьма желательно. [15]