Cтраница 2
Мальцева характеристики 7 2, 3 вкладывается в коммутаторную алгебру подходящей альтернативной алгебры. Ответ на этот вопрос положителен для полупервичных алгебр Мальцева, однако в общем случае проблема остается открытой. [16]
N Nil А пра-вонильпотентен, а факторалгебра A / N является полупростой артиновой альтернативной алгеброй ( С косыре кий / / Алгебра и логика. [17]
Несколько сложнее определяются проективные и эрмитовы ( эллиптические и гиперболические) плоскости над альтернативными алгебрами. Фундаментальные группы этих плоскостей являются простыми или квазипростыми группами Ли нек-рых особых классов. [18]
Тогда идеал N N11 Л правонильпотентен, а факторалгебра Л / Л / является полупростой артиновой альтернативной алгеброй. [19]
АЛЬТЕРНАТИВНОЕ КОЛЬЦО - кольцо, в котором каждые два элемента порождают ассоциативное подкольцо. Аналогично определяется альтернативная алгебра. [20]
Однако если все / г - однородны и число элементов в поле F не меньше, чем степень каждого из / г - по любой входящей в него переменной, то это так. В частности, всякий регулярный бимодуль над альтернативной алгеброй является альтернативным. [21]
Альтернативные алгебры, йордановы алгебры и алгебры Мальцева, наряду с алгебрами Ли, являются основными и наиболее изученными классами неассоциативных алгебр. Все они так или иначе довольно тесно связаны с ассоциативными алгебрами ( алгебры Мальцева - через альтернативные алгебры), поэтому их иногда объединяют под общим названием алгебры, близкие к ассоциативным. Этим классам алгебр ( кроме алгебр Ли) и посвящена основная часть данной статьи. Конечно, существуют и другие классы неассоциативных алгебр, допускающие вполне удовлетворительные структурные теории. Однако алгебры, близкие к ассоциативным, возникнув на стыках теории колец с другими областями математики, остаются до сих пор наиболее богатыми с точки зрения приложений и связей. Кроме того, методы их изучения достаточно универсальны и могут быть применены ( и успешно применяются. [22]
Ясно, что всякая ассоциативная алгебра альтернативна. Эта алгебра и ее обобщения - так называемые алгебры Кэли - Диксона - играют важную роль в теории альтернативных алгебр и ее приложениях в алгебре и геометрии. [23]
До сих пор неизвестно, можно ли определить правый альтернативный модуль конечным числом соотношений. По этому поводу см. [46], где определяется и изучается понятие правого представления в произвольном классе алгебр и строится теория правых представлений альтернативных алгебр. [24]
Если алгебра А содержит единицу е, то, представляя близкие к е элементы в виде е х, принимая в качестве координат элемента е х компоненты х в каком-либо базисе и замечая, что соотношение е z ( е х) ( е у) равносильно равенству z x - - y - - xy xoyJ видим, что присоединенный группоид Ар локально изоморфен группоиду близких к е элементов А относительно обычной операции умножения. В случае, когда алгебра А альтернативна, близкие к е элементы содержатся в альтернативном группоиде всех обратимых элементов А, и, таким образом, коммутаторная алгебра вещественной альтернативной алгебры А с единицей есть касательная алгебра для альтернативного группоида всех обратимых элементов этой алгебры А. [25]
Вызывают интерес классы алгебр, в к-рых мало простых алгебр. Типичные примеры таких классов - классы альтернативных, мальцевских и йордановых алгебр. В классе альтернативных алгебр, по модулю ассоциативных, простыми являются только ( восьмимерные) алгебры Кэли - Диксона над ассоциативно-коммутативным центром. В классе мальцевских алгебр, по модулю лиевых, простыми являются только ( семимерные) ( относительно операции коммутирования [ а, Ь ]) алгебры, присоединенные к алгебрам Кэли - Диксона. В более широких классах, таких, как правоальтернативные и бинарно лиевы алгебры, описание простых алгебр еще ( 1982) не закончено. [26]
В случае, когда А ассоциативна, коммутаторная алгебра АЬ является лиевой. Если А альтернативна, то легко видеть, в частности, из дальнейшего, что А не обязательно лиева, но заведомо бинарно лиева. Однако коммутаторные алгебры альтернативных алгебр обладают более сильными свойствами, чем простая альтернативная лиевость. [27]
В основе этой аналогии лежит теорема о том, что всякая двупорожденная подалгебра И. Всякая двупорожденная подалгебра альтернативной алгебры - ассоциативна. [28]
Такова же классификация композиционных алгебр над полями р-адических чисел Qp, так как любая квадратичная форма от 5 и более переменных над Qp представляет нуль. Над полем R вещественных чисел существует всего 7 неизоморфных композиционных алгебр: 3 расщепляемых и 4 алгебры с делением: R, С, Н, О. Последние 4 алгебры являются единственными конечномерными альтернативными алгебрами с делением над R. В общем случае они не описаны, однако справедлив следующий фундаментальный результат. [29]
Многие результаты из теории альтернативных алгебр о связи разрешимости и нильпотентности справедливы и для и. Например, всякая конечно порожденная разрешимая и. В то же время в отличие от альтернативных алгебр в конечно порожденных и. [30]