Cтраница 2
Теорема плотности Джекобсона часто рассматривается как обобщение структурной теоремы Веддерберна на бесконечномерные алгебры. Однако она оказывается весьма полезным инструментом и в обсуждаемых вопросах о конечномерных алгебрах. [16]
Пространство С ( М, R) гладких вещественных функций на М образует бесконечномерную алгебру Ли относительно скобки Пуассона. [17]
В частности, при d3 это означает, что, беря не более одного1 соотношения каждой степени, мы обязательно получим бесконечномерную алгебру. [18]
Штернберг [121], [122] нашел достаточные условия, при которых данное преобразование многообразия содержится в некоторой однопараметрической группе преобразований, исследовал картановские подалгебры в бесконечномерных алгебрах Ли инфи-нитезимальных преобразований, доказав, в частности, при некоторых предположениях их сопряженность. [19]
Однако, часто встречаются случаи, когда L бесконечномерна. Бесконечномерной алгебре Ли I / векторных полей также сопоставляется множество преобразований EN - EN, которое называется бесконечной псевдогруппой Ли и строится следующим образом. [20]
Однако с бесконечномерными алгебрами работать значительно труднее. [21]
Классический способ построения спи-норнрй группы ( и сходным образом, метаплектической) состоит в указании ее как подгруппы, лежащей в клиффордовой алгебре. Этот же способ используется и в случае бесконечномерных алгебр. [22]
Так, вначале в ряде работ [52-54] были обнаружены различные частные преобразования симметрии для гравитационных полей, описываемых уравнениями Эрнста. Уже в первых двух работах этой серии Киннерсли и Читром была явно описана бесконечномерная алгебра внутренних симметрии уравнений Эрнста. [23]
В последующих работах упомянутой выше серии [56- 63] были получены явные конечные формулы, отвечающие некоторым типам преобразований симметрии, позволившие генерировать многопараметрические семейства точных решений уравнений Эрнста. Весьма содержательное продолжение эти исследования получили в более поздних работах Хаусера и Эрнста [76, 77], где иыфинитезимальные преобразования, отвечающие бесконечномерной алгебре внутренних симметрии, были экспоненциированы, так что для вычисления соответствующих им групповых элементов требовалось решить некоторую однородную матричную задачу Римана-Гильберта. Эта задача была приведена к линейному матричному сингулярному интегральному уравнению, отличающемуся по своей структуре от интегрального уравнения, появившегося ранее в работе Белинского и Захарова, и построены некоторые семейства частных решений. [24]
Тот факт, что Грисс смог выполнить все построение вручную, свидетельствует не только о его замечательной интуиции и решительности, но доказывает также, что группа Flf именуемая монстром, на самом деле допускает некоторую естественную геометрическую интерпретацию, отражением которой является достаточная регулярность ее внутреннего строения. Удовлетворительное объяснение геометрической природы группы FI, связанной некоторым, пока неизвестным образом с ав-томорфными формами, бесконечномерными алгебрами Ли и / или алгебраической геометрией, безусловно, остается одной из наиболее интригующих проблем о простых группах, не затронутых классификацией. [25]
Например, многие бесконечные группы возникают как группы матриц. Например, если выбрать в бесконечномерной алгебре базис, то алгебра эндоморфизмов End ( А) в этом базисе реализуется бесконечными матрицами. [26]
Лича приводят к лучшему пониманию групп автоморфизмов остальных решеток In, i и II, i. Эта глава также содержит обширную таблицу корней Лича. В главе 29 описывается конструкция Монстра - наибольшей спорадической простой группы, а в последней главе описывается некоторая бесконечномерная алгебра Ли, получаемая из корней Лича, и высказывается предположение, что она может быть связана с Монстром. [27]