Булевская алгебра

Cтраница 2

Если желательно математически уточнить употребление формальных операций АВ, Л, А 4 - В и А - j - В, то имеются два пути: поле событий можно рассматривать либо как булевскую алгебру, либо как тело множеств. [16]

Множества А и А. [17]

Однако булевская алгебра может быть введена также как алгебра множеств или классов. Множество - это совокупность объектов, каждый из которых имеет определенное свойство. Так, совокупность всех автомобилей, произведенных в 1960 г. и годных к эксплуатации, составляет множество. [18]

Доказательство теоремы Стоуна, намеченное выше, показывает, что кольцо R изоморфно некоторому кольцу множеств, одновременно открытых и замкнутых, в компактном хаусдорфовом пространстве. Если R - булевская алгебра, то R изоморфна кольцу всех множеств, одновременно открытых и замкнутых, в компактном хаусдорфовом пространстве. Слегка изменив обозначения в упр. Если некоторый класс подмножеств компактного хаусдорфова пространства, одновременно открытых и замкнутых, представляет собой базис и если он замкнут относительно образования конечных соединений, то он содержит все множества, являющиеся одновременно открытыми и замкнутыми. [19]

Булевская алгебра, олементам к-рой приписывается число Р ( А), обладающее такими свойствами, наз. А ( простейшим примером такой юрмированной булевской алгебры является классич. [20]

Булевская алгебра есть булевское кольцо R, в котором существует элемент ( его естественно обозначить X), отличный от 0 и обладающий тем свойством, что ЕаХ для любого Е из R. Булевская з-алгебра есть булевское о-кольцо, являющееся булевской алгеброй. [21]

Множество А В.| Множество A - f В. [22]

Как видно теперь, булевская алгебра, построенная для высказываний, может иметь силу также для множеств, интерпретирующих высказывания. В силу этого мы можем наглядно представить некоторые из соотношений булевской алгебры по-средством геометрических схем. Например, рассмотрим соотношение А - ВА - - В. Мы покажем, что Л - В и Л Впредстав-ляются той же самой областью. [23]

Это не значит, что любые булевские о-алгебры множеств служат предметом теории вероятностей. Утверждения, касающиеся таких алгебр и отношений между их элементами, носят обычно лишь качественный характер, тогда как теория вероятностей подходит к изучению булевских алгебр также с количественной стороны. [24]

Корни этих направлений в Англии ведут в первую половину XIX в. Оксфорде Броди, бывший ученик Либиха и бывший сторонник атомизма, участник Конгресса в Карлсруэ, затем, однако, ставший противником атомизма. В 1866 г. он опубликовал статью, а в 1867 г. прочитал в Химическом обществе лекцию под названием Идеальная химия, которая получила широкий и почти восторженный отклик. А между тем Броди по праву можно было отнести к позитивистам, согласно приведенной выше классификации, ибо его идеи казались независимыми, если не разрушительными, для простой атомистической веры. О математической ее природе говорит и то, что Броди применил для ее построения булевскую алгебру. [25]

Страницы: 1 2