Cтраница 2
В теории представлений групп Ли символ f / ( g), даже в случае вещественных алгебр Ли g, традиционно обозначает комплексную алгебру f / ( gc) fis ( g) С. Очевидно, что все три данные выше определения могут быть адаптированы для этого случая. [16]
Вещественная форма G0 комплексной алгебры Ли G называется компактной вещественной формой алгебры G, если GO - компактная вещественная алгебра. [17]
Для любой вещественной алгебры Ли ( д, [ -, ]) определим ее комплексификацию ( дс), [, - ] с) как комплексное векторное пространство дс д к С с билинейной операцией [, - ] с, продолженной из [ -, ] по комплексной линейности. Проще говоря, переход от g к дс означает, что структурные константы сохраняются, но допускаются комплексные линейные комбинации базисных векторов. [18]
В случае вещественной алгебры fy - fy6 ( m, R) изоспектральным матрицам отвечает вещественная часть якобиана ЗСЬ), и утверждения о полной интегрируемости сохраняют свою силу. [19]
Картановское скалярное умножение на компактной алгебре Ли всегда неположительно определено. Для того чтобы вещественная алгебра Ли была полупростой компактной, необходимо и достаточно, чтобы ее картановское скалярное умножение было отрицательно определено. [20]
Комплексные алгебры Ли устроены проще, чем вещественные. Поэтому обычным приемом изучения вещественных алгебр Ли является их Комплексификация. Для того чтобы таким способом можно было что-то доказать, нужно знать, какие свойства алгебр Ли сохраняются при комплексификации. В этом пункте мы докажем, что к числу таких свойств относятся разрешимость и полупростота. [21]
Ясно, что изоморфные рациональные алгебры имеют изоморфные вещественные расширения. Далее будет указан пример нильпотентной вещественной алгебры Ли, содержащей неизоморфные рациойальные алгебры. [22]
Алгебра L, как комплексная и полупростая, известна. Обратно, для получения таким методом вещественной алгебры из комплексной алгебры L достаточно выбрать в L такой базис, в котором структурные постоянные с fit были бы вещественны, и затем формально рассмотреть вещественную алгебру с этими структурными постоянными. [23]
В результате каждой аналитической ( или дифференцируемой) лупе Муфанг сопоставляется некоторая алгебра Мальцева, тем же способом, как группе Ли сопоставляется алгебра Ли. Однако возник вопрос о существовании обратного соответствия: соответствует ли любой конечномерной вещественной алгебре Мальцева какая-то аналитическая лупа Муфанг, хотя бы локальная. [24]
Относительно операции [ х, у ] ху - ух она является бесконечномерной вещественной алгеброй Ли. [25]
Всякая полупростая алгебра разлагается в прямое произведение простых алгебр, но так как наименьший порядок простых алгебр 3 ( [137], стр. А в пространстве матриц Cs типа (27.11) можно выбрать самое большее алгебру б-го порядка, которая совпадает с алгеброй всевозможных матриц Cs и будет простой вещественной алгеброй 6-го порядка. [26]
Алгебра L, как комплексная и полупростая, известна. Обратно, для получения таким методом вещественной алгебры из комплексной алгебры L достаточно выбрать в L такой базис, в котором структурные постоянные с fit были бы вещественны, и затем формально рассмотреть вещественную алгебру с этими структурными постоянными. [27]
Все они являются также простыми алгебрами над полем R. Абсолютно простая вещественная алгебра L называется вещественной формой простой комплексной алгебры L, если Lc L S С. [28]
Пусть Gc - комплексификация вещественной алгебры Ли G; Г - подалгебра Картана в Gc, содержащая X; Д - система корней. Я / - а можно выбрать независимые функции в количестве dime Т - dimR0 так, что после ограничения этих функций на орбиту они остаются независимыми. [29]
Из общей теории представлений компактных групп следует, что между неприводимыми представлениями группы SU ( 2) и ее алгебры Ли 0и ( 2) имеется взаимно однозначное соответствие. Чтобы подтвердить полноту списка неприводимых представлений группы SU ( 2), которые были получены в § б гл. С этой целью удобно перейти с самого начала от вещественной алгебры Ли su ( 2) к ее комплекси-фикации, совпадающей с алгеброй Ли L 5l ( 2) su ( 2) 0 С всех комплексных 2 2-матриц с нулевым следом. [30]