Cтраница 2
Cartau) показал, что разыскание всех неприводимых локально симметрических римановых пространств сводится к классификации инволютивных автоморфизмов вещественных компактных алгебр Ли, и проделал эту классификацию. Вместе с тем была решена задача локальной классификации симметрических однородных пространств с простыми компактными основными группами. [16]
В суперсимметричном случае суперконформная аномалия гостов csh - 10 должна быть сокращена за счет полей материи. О-мерпую суперконформную алгебру, то необходимо ввести дополнительно 3 ( 10 - D) внутренних фермиевских степеней свободы г з в присоединенном представлении полупростой и компактной алгебры группы Ли G ( см. подразд. [17]
С понятием алгебры полиномов А [ X ] в предмно-гообразии К тесно связано понятие эквациальной компактности. Алгебра А из К называется экваци-ально компактной в / С, если любая система уравнений р, / -, j е /, где pi, qi A [ X ], имеет решение в А всякий раз, когда каждая ее конечная подсистема имеет решение в А. Класс эквациально компактных алгебр в предмногообразии К замкнут относительно прямых произведений, ретрактов и содержит все топологические компактные алгебры из К. В предмногообразии всех абелевых групп справедливо и обратное утверждение: каждая эквациально компактная абелева группа является ретрактом топологической компактной абелевой группы. Напомним, что подалгебра В алгебры А называется ретрактом А, если существует такой гомоморфизм р: А - - В, что р ( Ь) b для всех b е В. Для произвольных предмногообразии алгебр приведенное выше утверждение о связях эквациальной и топологической компактно-стей неверно. [18]
Ли) и описанию их центров. А именно, если 0, - полупростая компактная алгебра Ли, то ее комплексификация flCft R полупроста. Обратно, в любой полупростой алгебре Ли над С существует, и притом единственная с точностью до сопряженности, компактная вещественная форма. [19]
С понятием алгебры полиномов А [ X ] в предмно-гообразии К тесно связано понятие эквациальной компактности. Алгебра А из К называется экваци-ально компактной в / С, если любая система уравнений р, / -, j е /, где pi, qi A [ X ], имеет решение в А всякий раз, когда каждая ее конечная подсистема имеет решение в А. Класс эквациально компактных алгебр в предмногообразии К замкнут относительно прямых произведений, ретрактов и содержит все топологические компактные алгебры из К. В предмногообразии всех абелевых групп справедливо и обратное утверждение: каждая эквациально компактная абелева группа является ретрактом топологической компактной абелевой группы. Напомним, что подалгебра В алгебры А называется ретрактом А, если существует такой гомоморфизм р: А - - В, что р ( Ь) b для всех b е В. Для произвольных предмногообразии алгебр приведенное выше утверждение о связях эквациальной и топологической компактно-стей неверно. [20]
Алгебра Ли G называется компактной, если существует положительно определенное скалярное произведение, на G, инвариантное относительно всех внутренних автоморфизмов. Условие полупростоты образа отображения момента F: M - G из теоремы 12 автоматически выполне-но для компактных алгебр Ли. В связи с этим представляют интерес достаточные условия компактности алгебры Ли G интегралов системы sgrad Я. Ниже мы приводим более слабое условие, обеспечивающее компактность алгебры Ли интегралов и, используя теорему 12, получим следующее утверждение. [21]
Алгебра Ли над Ж называется компактной, если она обладает инвариантным скалярным произведением. Это название оправдывается тем, что алгебра Ли компактной группы Ли компактна. Так как в комплексной алгебре L любая билинейная форма является индефинитной, то всякая комплексная алгебра Ли L некомпактна, а компактная алгебра является некоторой вещественной формой в L. Ln идеалов, где N - центр L, L - полупростая, a Li - простые алгебры. [22]
Многообразие алгебр называется резидуально малым, если мощности подпрямо неразложимых алгебр ограничены. Примерами резидуально малых многообразий являются многообразия абелевых групп, всех полурешеток, дистрибутивных решеток, булевых алгебр. Если дистрибутивное многообразие порождается конечной алгеброй, то оно резидуально мало ( см. [28], гл. Многообразие / С резидуально мало тогда и только тогда, когда в К любая алгебра вложима в эквациально компактную алгебру ( см. [28], гл. Обзор результатов по резидуально малым многообразиям приведен в [28], гл. [23]
Значит, каждый нильпотентный элемент g алгебры Ли. G содержится в ее центре, который мы обозначим через Z. Отсюда легко получить компактность алгебры Ли G. Действительно, пусть R - разрешимый радикал алгебры G Тогда множество [ R, R ] состоит из нилытотентных элементов алгебры Ли G и весь радикал состоит из нилыютентных элементов. Значит, G - компактная алгебра Ли. [24]